$6^n -2^(n+1)+1$ quadrato perfetto

[axpgn]

@giammaria

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[Gi8]

Supponiamo esistano $m,n$ interi positivi tali che $m^2 = 6^n -2^(n+1) +1$

$n$ non può essere pari.

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Tenendo presente che vale sempre $4^n < 6^n$, da questo deduciamo che
$(2^n)^2 < (6^(n/2))^2 => 2^n < 6^(n/2) => 2^(n+1) < 2*6^(n/2)=> 6^n -2^(n+1) +1 > 6^n -2*6^(n/2) +1$
cioè $m^2 >(6^(n/2) -1)^2$
Inoltre $m^2 < 6^n= (6^(n/2))^2$.

Pertanto se $n$ fosse pari avremmo che, posto $c:= 6^(n/2)$,
si avrebbe $c$ intero positivo e $(c-1)^2 < m^2 < c^2$, assurdo.

$n$ non può essere dispari
....

[Gi8]

Sia $n$ dispari.

1) Se $3|n+1$

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Allora $6|n+1$, da cui $n+1= 6k$ per qualche $k$ intero positivo.
Ora, tenendo presente che $2^(6k) -1$ è multiplo di $7$ (perché $63= 2^6 -1 |2^(6k) -1$), si ha

$m^2 = 6^n - (2^(6k) -1) -= (-1)^n - 0 (mod 7) -= 6 (mod 7)$,
assurdo perché un quadrato non è mai congruo a $6$ modulo $7$

2) Se \( 3 \nmid n+1 \)
...

[Gi8]

Sia $n$ dispari tale che \( 3 \nmid n+1 \),
quindi esiste $h$ intero positivo non multiplo di $3$ tale che $2h =n+1$.

Allora si ha che:
1) \( 3 \mid 6^n - 2^{n+1} +1 \)

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Infatti $6^n - 2^{n+1} +1 = 6^n - 4^h +1 -= 0^n - 1^h +1 (mod 3) -= 0 (mod 3)$

2) \( 9 \nmid 6^n - 2^{n+1} +1 \)

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Lemma: Per ogni $m in NN$, si ha $4^m -= 1 (mod 9) <=> m-=0 (mod 3)$
Dim.Lemma:
$m=3k => 4^m = 4^(3k) = 64^k -= 1^k (mod 9) -= 1 (mod 9)$
$m=3k+1 => 4^m = 4^(3k+1) = 64^k*4 -= 1^k*4 (mod 9) -= 4 (mod 9)$
$m=3k+2 => 4^m = 4^(3k+2) = 64^k*16 -= 1^k*16 (mod 9) -= 7 (mod 9)$
C.V.D.

Ora possiamo dimostrare il punto (2)
Se $n=1$ si ha $6^n - 2^{n+1} +1 = 6-4+1 = 3$, che non è divisibile per $9$.

Se $n>1$ si ha $6^n -= 0 (mod 9)$, da cui $6^n - 2^{n+1} +1 = 6^n - 4^h +1 -= - 4^h +1 (mod 9)$,
che non è congruo a $0$ per il lemma.

Ciò significa che $m^2$ è divisibile per $3$ ma non per $9$, e questo è assurdo.