Un limite… radicale

[dan95]

Calcolare

$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} n^{1/k}$$

[Quinzio]

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$$\lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} n^{1/k} = 1+ n^{-\frac{1}{2}}+ n^{-\frac{2}{3}}+ n^{-\frac{3}{4}}+ ... = 1$$

Tutti quei termini vanno a 0, ma non sono sicuro al 100%.

[dan95]

@Quinzio

Attento al segno all’ esponente

[giammaria]

Mmm... Non credo che il risultato di Quinzio sia giusto. Posto $S_n=sum_(k=1)^n n^(1/k)$ ed arrotondando i risultati ottengo $S_1=1; S_2=1.71; S_3=2.06; S_4=2.25$ e queti numeri fanno pensare ad una successione crescente, forse con limite $e$. Ma non è certo una dimostrazione!

[dan95]

@Giammaria

Il risultato di quinzio non è corretto.

Il limite è …

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2

[giammaria]

Ne sei sicuro? Con la mia notazione ed aiutandomi con un foglio di calcolo, trovo $S_(10)=2.542$, che mi conferma nella mia ipotesi.

[sellacollesella]

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Per \(k \ge 2\) si ha: \[
\begin{aligned}
& 1 \le \left(1\cdot 1\cdots 1\cdot\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}\right)^{1/k} \le \frac{1+1+\dots+1+\sqrt{n}+\sqrt{n}}{k} \\
\\
& 1 \le n^{1/k} \le \frac{k-2+2\sqrt{n}}{k} \\
\\
& \sum_{k=2}^n 1 \le \sum_{k=2}^n n^{1/k} \le \sum_{k=2}^n \frac{k-2+2\sqrt{n}}{k} \\
\\
& n-1 \le \sum_{k=1}^n n^{1/k}-n \le \sum_{k=1}^n \frac{k-2+2\sqrt{n}}{k}+1-2\sqrt{n} \\
\\
& 2n-1 \le \sum_{k=1}^n n^{1/k} \le n-2H_n+2\sqrt{n}\,H_n+1-2\sqrt{n}+n \\
\\
& \frac{2n-1}{n} \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n n^{1/k} \le \frac{2n-2(1-H_n)\sqrt{n}+1-2H_n}{n} \\
\end{aligned}
\] Siccome: \[
\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n-2(1-H_n)\sqrt{n}+1-2H_n}{n}=2
\] per il teorema del confronto: \[
\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n n^{1/k}=2\,}
\]Volendo vedere che succede graficamente, in Mathematica possiamo scrivere:

Codice:

ListPlot@Table[NSum[n^(1/k - 1), {k, n}], {n, 1000}]


ed effettivamente si può intuire che, seppur raggiungibile lentamente, il limite può essere \(2\).

[dan95]

@giammaria

Calcola con valori grandi di $n$



@sellacollesella

Ok

[Quinzio]

Per capire il primo passaggio della dimostrazione di sellacollesella (che non e' banale):
https://it.wikipedia.org/wiki/Disuguagl ... geometrica

[giammaria]

Effettivamente trovo $S_40=2,448<S_10$. Beì, è insolito che una successione prima cresca e poi decresca.