La tua idea mi sembra sostanzialmente come la mia, solamente l'hai allungata un po', come piace a te
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Dato $n=p_1^(a_1)p_2^(a_2)...p_k^(a_k)$ allora $sigma(n)=5n$ è uguale a $(p_1^(a_1+1)-1)/(p_1-1)(p_2^(a_2+1)-1)/(p_2-1)...(p_k^(a_k+1)-1)/(p_k-1)=5p_1^(a_1)p_2^(a_2)...p_k^(a_k)$
Dividendo tutto per $n$, otteniamo $(p_1-(p_1^(a_1))^(-1))/(p_1-1)(p_2-(p_2^(a_2))^(-1))/(p_2-1)...(p_k-(p_k^(a_k))^(-1))/(p_k-1)=5$
Trascurando al numeratore i termini negativi, abbiamo la disuguaglianza $p_1/(p_1-1)p_2/(p_2-1)...p_k/(p_k-1)>5$
Ora i valori di questi fattori sono i termini di una successione strettamente decrescente: $2/1, 3/2, 5/4, 7/6, 11/10, ...$, ovvero il prodotto di cinque termini qualsiasi di questa sequenza sarà massimo quando si prendono i primi cinque (e il prodotto di quattro termini è minore di quello dei primi cinque).
Ma il prodotto dei primi cinque termini è solo $77/16$ cioè minore di $5$.
Ne consegue che per soddisfare la disuguaglianza occorrono più di cinque termini.
Cordialmente, Alex