Ladro d'auto

[axpgn]

Da una stazione di polizia situata lungo una strada diritta che si estende indefinitamente in entrambe le direzioni, un ladro ha rubato una macchina della polizia.
La velocità massima di questa auto è pari al $90%$ della velocità massima di un "police cruiser".
Quando il furto viene scoperto, tempo dopo, un poliziotto si lancia all'inseguimento del ladro a bordo di un "police cruiser".
Comunque, il poliziotto non sa da quanto tempo è stata rubata l'auto e neppure in quale direzione sia fuggita.

È possibile per il poliziotto raggiungere il ladro?


Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Si puo' fare.
Il poliziotto, appassionato di problemi matematici, dopo aver meditato sulla situazione calcola un coefficiente $k > v_p/(v_p-v_l)$ che gli sara' utile in seguito.
$v_l$ è la massima velocità del ladro. $v_p$ è la massima velocità del poliziotto.
Il poliziotto poi prende nota dell'orario in cui parte, che chiama $t_0$, sceglie una direzione iniziale (destra o sinistra) e viaggia alla velocita' massima per un tempo a piacere. Il poliziotto viaggera' sempre alla velocita' massima.
Quindi inverte il senso di marcia, torna davanti alla stazione e prende nota del tempo trascorso da $t_0$, che chiama $t_10$.
Quindi viaggia dalla parte opposta (se veniva da destra va a sinistra e viceversa) per un tempo $kt_10$.
Poi inverte il senso di marcia, come prima, torna davanti alla stazione e prende di nuovo nota del tempo trascorso da $t_0$, che chiama $t_20$.
Quindi viaggia dalla parte opposta (se veniva da destra va a sinistra e viceversa) per un tempo $kt_20$.
Poi inverte il senso di marcia, come prima, torna davanti alla stazione e prende di nuovo nota del tempo trascorso da $t_0$, che chiama $t_30$.
E cosi' via, finche' non prende il ladro.

[axpgn]

È una congettura, non è una dimostrazione

[Quinzio]

È una congettura, non è una dimostrazione

Voila' la dimostrazione.
E' intuitiva e computation-free, come piacciono a me.

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Oltre alle vetture del ladro e del poliziotto, immaginiamo altre due vetture che viaggiano un po' piu' veloci del ladro e un po' meno veloci del poliziotto. Per comodita' immaginiamo che tutte le vetture viaggino a velocita' costante e alla massima velocita'.
Parte il ladro prima di tutti e poi, dopo un tempo imprecisato, partono le vetture immaginarie (in direzioni opposte), e quindi, dopo un altro tempo a piacere (deciso dal poliziotto) parte la vettura del poliziotto.
Prima o poi il poliziotto raggiunge una delle due vetture immaginarie, siccome viaggia piu' veloce di esse.
Quando la raggiunge, se non ha ancora raggiunto il ladro, il poliziotto inverte la direzione e raggiunge sicuramente l'altra vettura immaginaria, siccome anch'essa viaggia piu' lentamente. Quando la raggiunge, inverte di nuovo la direzione e cosi' via, facendo un ping-pong continuo tra le due vetture immaginarie.
D'altra parte, una delle due vetture vetture immaginarie raggiunge sicuramente il ladro, siccome viaggiano piu' velocemente del ladro.
Conclusione: una delle due vetture immaginarie raggiunge il ladro, il poliziotto ripetutamente raggiunge le due vetture immaginarie, ergo il poliziotto raggiunge il ladro.

[axpgn]

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Non mi convince (come dimostrazione) in quanto di fatto dai per verificato quanto devi provare (ovvero assumi come ipotesi la tesi).
Tu affermi che raggiungerà sicuramente la vettura partita successivamente al poliziotto ed in direzione opposta a questi: ma è esattamente quello che devi dimostrare (il ladro partito prima e magari in direzione opposta)

Cordialmente, Alex

[axpgn]

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Inoltre tieni conto che c'è una differenza di fondo tra la tua ipotesi e il problema originale: aggiungendo l'auto che il poliziotto deve raggiungere introduci il punto (eventuale) di ritorno che il poliziotto dovrebbe utilizzare mentre nel problema originale il poliziotto NON ha nessun riferimento per cui stabilire QUANDO dovrebbe ritornare.
Differenza fondamentale.

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Boh, non capisco perche' dici che la dimostrazione non ti convince.
Non c'e' nessuna vettura che parte dopo il poliziotto.
Prima parte il ladro, poi le due vetture "immaginarie", poi il poliziotto.
Piu' tardi metto un grafico con Geogebra da cui si dovrebbe capire tutto meglio.

[axpgn]

Non mi convince per due motivi (che ho scritto):

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- hai assunto la tesi come ipotesi (rivedi quanto ho scritto in merito)

- la vettura "immaginaria" è appunto "immaginaria" e quindi il poliziotto "vero" non sa quando la "raggiungerà" e quindi quando deve tornare

Cordialmente, Alex

[Quinzio]

Non mi convince per due motivi (che ho scritto):

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Nessuno ha mai detto che il poliziotto non puo' conoscere il momento in cui le vetture immaginarie sono partite.

[axpgn]

Rimango dell'idea che non sia una dimostrazione convincente ... comunque eccone una più formale ...

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Poniamo la velocità del cruiser pari a $1$.
La strategia del poliziotto è quella di partire per una direzione per un periodo di tempo $k$, quindi invertire la marcia e proseguire in direzione opposta a prima per un periodo di tempo $k^2$, quindi invertire la marcia per proseguire nella direzione iniziale per un periodo di tempo $k^3$ e così via.
Al termine del periodo $k^n$, il tempo trascorso in totale dalla sua partenza sarà

$k^n+k^(n-1)+...+k=(k^(n+1)-k)/(k-1)$, mentre la distanza netta coperta in questa direzione nel frattempo sarà

$k^n-k^(n-1)+...+(-1)^nk=(k^(n+1)-(-1)^nk)/(k+1)$.

La velocità netta in questa direzione quindi sarà

$s=(k^(n+1)-(-1)^nk)/(k+1) : (k^(n+1)-k)/(k-1)$ ovvero $s>(k-1)/(k+1)$.

Risolvendo per $s>(k-1)/(k+1)>9/10$ otteniamo $k>19$.

In conclusione la velocità netta del cruiser è comunque maggiore di quella del ladro che perciò verrà raggiunto.

Cordialmente, Alex