Sui primi congrui a 1 modulo 4

[maurer]

Uhm.. riprendo questo thread per dare una dimostrazione del teorema di Fermat sui primi che sono somma di due quadrati molto elegante che fa uso di tecniche tipiche di algebra commutativa (e che picchia molto vicino al vero cuore del problema).

Innanzi tutto, l'estensione \( \displaystyle \mathbb Z \subset \mathbb Z[i] \) è integrale, quindi la mappa indotta \( \displaystyle g \colon \text{Spec}(\mathbb Z[i]) \to \text{Spec}(\mathbb Z) \) è suriettiva. Fissato un ideale massimale \( \displaystyle p \mathbb Z \) in \( \displaystyle \mathbb Z \) , la fibra schematica \( \displaystyle g^{-1}(p\mathbb Z) \) è (omeomorfa a) \( \displaystyle \text{Spec}(\mathbb Z[i] \otimes_\mathbb{Z} (\mathbb Z / p \mathbb Z)) = \text{Spec}(\mathbb F_p[X]/(X^2 +1)) \) e quindi sopra \( \displaystyle p\mathbb Z \) giacciono esattamente due primi se e solo se \( \displaystyle X^2 + 1 \) spezza in \( \displaystyle \mathbb F_p \) , ossia se e solo se \( \displaystyle \left( \frac{-1}{p} \right) = 1 \) .

Ora, se \( \displaystyle p\mathbb Z = (a+ib)(c+id) \) segue \( \displaystyle N(a+ib) = N(c+id) = p \) e pertanto \( \displaystyle c+id = a- ib \) , da cui \( \displaystyle p \) è somma di due quadrati. Il viceversa, è ovvio: da \( \displaystyle p = a^2 + b^2 = (a+ib)(a-ib) \) segue subito che \( \displaystyle p \mathbb Z \) ha almeno due fattori primi e pertanto \( \displaystyle X^2 + 1 \) deve spezzare in \( \displaystyle \mathbb F_p \) .

[lolomax]

Perdonate, ho trovato questo forum con una ricerca Bing.. fa ridere, però potrei aver elaborato una formula che dovrebbe essere un “modo” accurato della congettura hardy littlewood, come verifichereste voi?

Grazie.

[Martino]

Moderatore: Martino

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