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Per $x>0$ reale risulta ben definita la funzione $f(x) =x^{x}$ ivi continua.
E' facile anche definire $f(x):=x^{x}$ nell'intervallo $[0,+\infty\[$, ponendo $f(0) =1$ è sempre ivi continua, dato che $\lim_{x\to\0^{+}} x^{x}=1$.
La mia richiesta è se si può definire $f(x):=x^{x}$ in tutto $\mathbb{R}$ come funzione, ed è facile notare che se si può, allora necessariamente $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$.
Le domande sono dunque due in una, se $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ è una funzione (ampliamento di $f(x) =x^{x}$ in $[0,+\infty\[$), studiare la continuità di $f$ per $x\leq 0$.
Posso dirvi che, almeno per ora, non conosco le rispettive risposte ed è per questo che lo chiedo.

Di solito si dice "estensione" invece di "ampliamento". Se richiedi che l'estensione sia solo continua il problema ha una risposta banale: basta definire
\[
f(x)=\begin{cases} x^x, & x>0\\
1, & x\le 0.
\end{cases}
\]
Questa è una funzione continua ed estende \(x\mapsto x^x\).

Se, come immagino, non sei soddisfatto da questa risposta, devi richiedere una estensione *analitica*. Lí diventa interessante (e difficile).

Esatto hai ragione non l'ho detto, non so il perché: la voglio ANALITICA

Scusate, la vorrei......

Riformulo correggendomi un'altra volta e in maniera diversa la mia domanda : vorrei sapere se esiste il prolungamento della funzione $f(x):=x^{x}$ in $ [0, +\infty]$ , in tutto $\mathbb{R}$ e a<0 allora $f(a)=a^{a}$ (per semplicità chiamo sempre f la f prolungata in tutto $\mathbb{R}$ ). E se esiste tale f in tutto $\mathbb{R}$, studiarne la continuità.

Interessante domanda, provo a dire due cose ma poi aspetterei gli analisti. "Il prolungamento" non è una cosa ben definita. Stai cercando la continuazione analitica (analytic continuation). Io proverei a scrivere $x^x=e^(x log(x))$ e ad esprimere $e^y$ in serie di Taylor intorno a $y=0$, poi sostituire $y=x log(x)$ (che tende a zero per $x to 0$) e così ti sei in qualche modo ridotto ad estendere $x log(x)$.

Forse non capisco qualcosa, ma mi pare chiaro che \(\displaystyle f(x):=e^{x\ln(x)} \), prolungata con il valore \(\displaystyle 1 \) in \(\displaystyle x=0 \) non è derivabile da destra in \(\displaystyle x=0 \). Infatti

\(\displaystyle \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{e^{x\ln(x)}-1}{x} =\frac{x\ln(x)(1+\sigma(x))}{x}=\ln(x)(1+\sigma(x))\to-\infty\) (per \(\displaystyle x\to0^+ \))

Nel conto sopra \(\displaystyle \sigma(x)=r(x\ln(x)) \) dove \(\displaystyle r(y)=\frac{e^y-1}{y}-1 \) e dunque \(\displaystyle \sigma(x)\to0 \) per \(\displaystyle x\to 0 \).


Dunque mi pare che sia impossibile estendere analiticamente \(\displaystyle f \)

dissonance ha scritto:

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@ViciousGoblin: Come sono contento del tuo ritorno. Mi ricordo di conversazioni con te qui sopra quando ero uno studente universitario. Ho imparato un sacco di cose da quelle conversazioni, molte me le porto ancora dietro nel subconscio, nella cassetta degli attrezzi personale, ora che faccio matematica per lavoro. Grazie.