Funzioni Holderiane e funzioni Lipschitziane

Ho un dubbio: se avessi una funzione $f$ che sia $\alpha$-Hölderiana per ogni $\alpha\in(0,1)$ allora questa funzione sarà anche Lipschitziana?
Intuitivamente mi viene da dire di no, però non riesco a trovare un controesempio. Qualcuno riesce ad aiutarmi??

Ho pensato a qualcosa di simile a $x^{x}$, definita sull'intervallo aperto $(0,1)$.

È falso, prova con qualcosa tipo \( f(x) = x \ln (x) \) e \( f(0)=0 \). Questa dovrebbe essere log-Lipschitz continua e quindi Hölder continua per ogni \( \alpha \in (0,1) \), ma non Lipschitz continua.

Per log-Lipschitz intendo che
\[ \left| f(x) - f(y) \right| \leq C \left| x - y \right| \left| \ln \left| x - y \right| \right| \]

Sì, sembra funzionare! Grazie!