$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^x}$
che converge, per $x>1$ ad una funzione che si può mostrare essere $C^\infty$ nell'intervallo di convergenza.
Tale funzione la si può estendere al piano complesso - tralasciando qualche dettaglio tecnico - nel seguente modo
$\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$
che converge per $Re(s)>1$ dove $Re(s)$ è la parte reale di $s= \sigma + it \in \CC$ (quindi $Re(s)=\sigma$).
Tale serie, dove converge, converge ad una funzione olomorfa che si indica, generalmente, con la lettera greca $\zeta$, dunque
$\zeta(s)=\sum_(n=1)^\infty \frac{1}{n^s}$
definita, appunto, per $Re(s)>1$.
Ora, grazie alla formula della somma di Eulero si può mostrare che
$\zeta(s)= \frac{1}{s-1}- s \int_1^t \frac{t-[t]}{t^(s+1)} dt+1$
che vale anche per $Re(s)>0$ (a parte la singolarità in $s=1$ che corrisponde alla divergenza della serie armonica semplice).
Inoltre si può prolungare analiticamente tale funzione a tutto il piano complesso: la forma migliore è sotto forma di equazione funzionale
$\zeta(s)= 2 \Gamma(1-s)(2\pi)^(s-1) sin(\pi s/2) \zeta(1-s)$
che consente di calcolare il valore di $\zeta(s)$ a partire da quello di $\zeta(1-s)$ (con $Re(s)<0$).
E' tuttavia più utilizzata la seguente forma (che si ottiene da questa mediante qualche semplice sostituzione)
$\zeta(1-s)= 2 \Gamma(s) (2\pi)^(-s) sin(\frac{\pi(1-s)}{2}) \zeta(s)$
che però vale per $Re(s)>0$.
Tale funzione estesa a tutto il piano complesso ha infiniti zeri in corrispondenza degli interi negativi pari dovuti all'annullamento della funzione seno al secondo membro (basta porre $s= 2n+1$ sull'ultima formula): diciamo che questi non ci interessano.
Si può dimostrare - ma diamolo per buono - che oltre questi ne ha infiniti non dovuti a motivucci banali come un seno nullo: dimostrare che tutti questi zeri sono in corrispondenza della retta $Re(s)=1/2$.
1.
Per chi sa di cosa parlo
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fate finta di nulla, ho preso spunto da Bombieri per un pesce d'aprile stiloso (vedere libro di Du Satoy "l'enigma dei numeri primi")
2.
Hint: per chi non sa di cosa parlo
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dopo aver visto che giorno è oggi, se proprio non sapete dove sbattere la testa aprite queste pagina di wikipedia
http://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_p ... di_Riemann
http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann
Se, nonostante non avete capito che il mio era un pesce d'aprile, siete riusciti a risolvere questo problema... allora del milione di euro che ricevete, ricordatevi del buon Zero87 che ha postato questo messaggio con cui magari vorrete spartire una (minima) parte del premio.
http://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_p ... di_Riemann
http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_di_Riemann
Se, nonostante non avete capito che il mio era un pesce d'aprile, siete riusciti a risolvere questo problema... allora del milione di euro che ricevete, ricordatevi del buon Zero87 che ha postato questo messaggio con cui magari vorrete spartire una (minima) parte del premio.
3.
Spoiler da aprire solo se si è capito qualcosa (e quindi si è aperto almeno uno degli altri 2).
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Ho sempre sognato di fare un pesce d'aprile stiloso...
