Ultime cifre comuni tra numero di Graham e $3^{3^{⋰^3}}$

[marcokrt]

Spero di postare questo problemino nella sezione giusta, in caso contrario chiedo venia.
Ho pensato di proporlo nonostante lo abbia risolto incidentalmente tempo fa, mentre cercavo di rispondere a un quesito più generale, giacché il risultato può essere scritto in modo estremamente compatto (non aggiungo altro per non spoilerare troppo).

Problema: Nel comune sistema di numerazione decimale, immaginiamo di confrontare una a una le cifre meno significative (quelle più a destra, partendo dall'ultima e procedendo verso sinistra un passo alla volta) del celebre numero di Graham, $g_{64}$ (cfr. https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html), con quelle della stringa generata dalla torre di potenze infinita $3^{3^{⋰^3}}$ (si assuma come al solito associatività da destra e, per semplicità, potremmo anche riferirci a una qualsiasi torre di potenze di altezza finita con il $3$ che compaia un numero di volte maggiore di $g_{64}$ stesso).
Domanda 1 (semplice): Spiegare perché la suddetta torre di potenze infinita, $3^{3^{⋰^3}}$, non potrà mai restituire per intero il numero di Graham tramite le sue cifre più a destra.
Domanda 2 (un po' meno semplice): Determinare in modo esatto la posizione della cifra meno significativa di $g_{64}$ che differisce dalla sua omologa restituita dalla torre di potenze infinita $3^{3^{⋰^3}}$ (possibilmente usando la funzione super-logaritmo).

Buon divertimento!

[Quinzio]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Premetto subito che non ho la risposta ma vorrei fare qualche tentativo molto improvvisato, anche perche' su questo argomento sono al livello "for dummies" .
Inoltre cerco di rispondere solo alla domanda 1.

Dopo aver dato un'occhiata alla pagina Wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27 ... mal_digits
si scopre che le torri di potenze del 3 (solo del 3?) dove la torre ha altezza $d$, hanno le ultime (meno significative) $d-2$ cifre che sono stabili, ovvero che rimangono uguali con torri piu' alte.

Il numero di Graham si puo' scrivere come $$g_{64} = 3 \uparrow \uparrow k $$.
$k$ non e' quantificabile, non si sa quant'e', e credo che entri in gioco il superlogaritmo.
Comunque sia, $k$ e quindi il numero di cifre stabili fino a quel punto sono molto minori di $g_64$.
Quindi il numero $g_64$ ha una parte meno significativa di cifre stabili e poi tutte le altre cifre davanti sono cifre instabili, che cambieranno man mano che la torre di potenze aumenta di altezza.
Quindi ci sara' una torre di potenze del che avra' $g_64 -2 $ cifre stabili, ma cifre piu' significative saranno diverse da quelle di $g_64$ siccome le sue prime cifre "davanti" erano instabili.
Siccome la quantita' di cifre instabili di $g_64$ e' enorme, la probabilita' che queste, per caso, coincidano con quelle stabili e' praticamente zero.
Non credo che quest'ultima affermazione si possa dimostrare, rimane un ipotesi probabilistica, anche se praticamente certa.

[marcokrt]

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Premetto subito che non ho la risposta ma vorrei fare qualche tentativo molto improvvisato, anche perche' su questo argomento sono al livello "for dummies" .
Inoltre cerco di rispondere solo alla domanda 1.

Dopo aver dato un'occhiata alla pagina Wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Graham%27 ... mal_digits
si scopre che le torri di potenze del 3 (solo del 3?) dove la torre ha altezza $d$, hanno le ultime (meno significative) $d-2$ cifre che sono stabili, ovvero che rimangono uguali con torri piu' alte.

Il numero di Graham si puo' scrivere come $$g_{64} = 3 \uparrow \uparrow k $$.
$k$ non e' quantificabile, non si sa quant'e', e credo che entri in gioco il superlogaritmo.
Comunque sia, $k$ e quindi il numero di cifre stabili fino a quel punto sono molto minori di $g_64$.
Quindi il numero $g_64$ ha una parte meno significativa di cifre stabili e poi tutte le altre cifre davanti sono cifre instabili, che cambieranno man mano che la torre di potenze aumenta di altezza.
Quindi ci sara' una torre di potenze del che avra' $g_64 -2 $ cifre stabili, ma cifre piu' significative saranno diverse da quelle di $g_64$ siccome le sue prime cifre "davanti" erano instabili.
Siccome la quantita' di cifre instabili di $g_64$ e' enorme, la probabilita' che queste, per caso, coincidano con quelle stabili e' praticamente zero.
Non credo che quest'ultima affermazione si possa dimostrare, rimane un ipotesi probabilistica, anche se praticamente certa.

Mi fa piacere che qualcuno abbia finalmente provato a rispondere e sì, quell'affermazione su Wikipedia.en è solo una declinazione particolarissima di un mio risultato originale molto più ampio e complesso (se interessa, ve ne posso parlare, ma esula dalla domanda in sé, a cui si può rispondere in modo molto più semplice).
Premetto che la soluzione che scriverò non credo sia l'unico modo per risolvere il problema e forse nemmeno il più compatto, ma eccola qui di seguito.

Assumiamo radix-\(10\) come richiesto. Osservando che la definizione del numero di Graham parte da un'esazione (pentazione iterata) già solo per settarne il primo livello, se ne deduce immediatamente che \(g_{64}\) non è altro che una tetrazione a base \(3\) con iperesponente intero positivo (anche se molto, ma molto grande!), poniamo pertanto \(g_{64} :=\) \(^{n}3\) con \(n \in \mathbb{Z}^+\).

A questo punto introduciamo ciò che ho definito "velocità di congruenza" della tetrazione, ovvero il numero delle nuove cifre meno significative che sono comuni fra tetrazioni a base intera positiva (tenuta costante) per valori successivi del proprio iperesponente intero (per una definizione formale valida per ogni base intera maggiore di \(1\) e non multipla di \(10\), si veda ad esempio la 1.1 di questo nostro paper https://doi.org/10.7546/nntdm.2022.28.3.441-457 — da notare che è possibile anche estendere tale definizione alle altre restanti basi non negative, ma qui non ci serve e basta questo).
Ho dunque dimostrato (le pubblicazioni peer-review sono disponibili) che la velocità di congruenza della tetrazione è indipendente dalla base se l'iperesponente è "abbastanza grande" rispetto alla base e una condizione sufficiente è quella Definizione 2.1 del paper di cui sopra, ma possiamo anche prenderne una meno stretta e più semplice da ricordare come "basta che l'iperesponente sia almeno pari alla base più \(1\)" e questo ci garantisce sempre che velocità di congruenza per la data base, calcolata a quell'altezza, non muterà mai più al crescere dell'iperesponente.

Ora, se volessimo "usare un bazooka per schiacciare una mosca", potremmo invocare l'Equazione 16, Riga 11 dall'alto, del suddetto paper e sapremmo già che la velocità di congruenza costante della base \(3\) è pari alla valutazione \(5\)-adica di \(3^2+1\) ed è dunque unitaria (sappiamo già che si stabilizza al più a partire dalla quarta tetrazione di \(3\) e non sarebbe comunque difficile calcolare che \(V(3,b)=0\) se e solo se \(b=1\) e \(V(3,b)=1\) per ogni \(b>1\)), ma in reatà ci basta invocare il più basilare Lemma 1 di questo mio precedente paper https://doi.org/10.7546/nntdm.2020.26.3.245-260 e abbiamo già finito.

Da quanto detto, essendo \(g_{64}=\) \(^{n}3\), discende che la tetrazione \(^{b}3\) congela zero cifre meno significative per \(b=1\) ed (esattamente!) \(1\) ulteriore cifra meno significativa per ogni successivo valore di \(b\) (da \(2\) in poi): possiamo dunque affermare con assoluta certezza che \(g_{64} \equiv 3^{3^{⋰^3}} \pmod {10^{n-1}}\) e che \(g_{64} \not\equiv 3^{3^{⋰^3}} \pmod {10^{n}}\). Giacché la prima cifra diversa da destra che non sarà comune ad altezza \(n\) lo diverrà ad altezza \(n+1\), abbiamo l'assoluta certezza (non probabilità, certezza!) che \(g_{64}\) e \(3^{3^{⋰^3}}\) differiranno a partire (esattamente) dalla \(n\)-esima cifra da destra (le restanti \(n-1\) cifre significative sono comuni, identiche) in virtù del Lemma 1 del vecchio paper o (se si preferisce) dell'Equazione (16) del nuovo paper.

Non ci rimane quindi che esplicitare \(n\) in funzione di \(g_{64}\) e abbiamo risposto in un colpo solo a entrambe le domande!

Notiamo a tal fine che la funzione superlogaritmo, \(slog\), fa proprio al caso nostro, perché restituisce l'iperesponente da assegnare alla data base di una tetrazione intera per ottenerne l'argomento:
poiché sappiamo che \(g_{64} =\) \(^{n}3\), ne consegue che \(slog_{3}(g_{64}) = n\).

L'elegante soluzione del problema è pertanto che la (\(slog_{3}(g_{64})\))-esima cifra da destra di \(g_{64}\) è la cifra meno significativa di \(g_{64}\) che non è comune alla sua omologa appartenenente alla stringa generata dalla torre di potenze infinita \(3^{3^{⋰^3}}\) (o equivalentemente a una qualsiasi tetrazione \(^{b}3\) con \(b\) intero maggiore di \(slog_{3}(g_{64})\)).

P.S.
Potrei anche aggiungere che la differenza tra la (\(slog_{3}(g_{64})\))-esima cifra meno significativa di \(g_{64}\) e la sua omologa di \(3^{3^{⋰^3}}\) sarà certamente congrua a \(6 \pmod {10}\), ma questo lo lascerei da dimostrare come esercizio a chi qui era (legittimamente) scettico quando annunciai la scoperta di tutto ciò una dozzina di anni fa, cosa che mi fece prendere la sofferta decisione di abbandonare il forum per altrettanti anni.
Ora però la dimostrazione del problema che ho postato è un semplice corollario del teorema che si riassume nella richiamata Equazione (16), quello dello "sfasamento" \(\{4,6\} \pmod{10} \) per la base \(3\) è giusto una chicca per testare la comprensione del lettore su ciò che ho qui brevemente introdotto. Se poi interessa una giustificazione matematicamente un po' più alta di questo risultato (sfruttando l'opportuno omomorfismo tra i numeri in base \(10\) e l'anello commutativo - gruppo abeliano - degli interi decadici, ivi determinando le \(15\) soluzioni dell'equazione fondamentale \(y^5 = y\)), trovate tutto nella Sezione 2.1 di quest'altro mio paper: https://arxiv.org/abs/2208.02622).

P.P.S.
Concludo inserendo una Figura che chiarisce in modo semplice e senza tanti fronzoli matematici a cosa mi riferivo nel precedente post scriptum (lo "sfasamento" delle tetrazioni a base \(3\) e di altezza dispari è banalmente la differenza tra le cifre rosse e la sottostante scura della riga successiva, quello delle tetrazioni \(^{b}3\) con \(b\) pari fa invece riferimento alla differenza tra le cifre in verde e la rispettiva cifra omologa della riga sottostante... e sappiamo già che \(g_{64}\) è una tetrazione a base \(3\) di altezza dispari, perché una moltiplicazione/potenza/tetrazione/pentazione/... iterata di soli dispari ha come risultato sempre un numero dispari ):