Confronto di due definizione sull'interpolazione

Salve sto studiando il problema l’interpolazione, e vorrei confrontare due definizioni.
Nello specifico, la prima definizione è rivolta all'interpolazione con $f$ nota, invece, la seconda definizione è rivolta all'interpolazione generica, cioè, quella in cui dati provengono da misurazioni sperimentali oppure da un insieme discreto di punti $(x_i, f(x_i)$.

Il mio scopo è partire dalla seconda definizione, riformularla, ed arrivare alla prima definizione


In primis considero Sia $ \mathbb{F}$ lo spazio lineare delle funzioni, cioè $ \mathbb{F}=\{f:A\subseteq\mathbb{R} \to \mathbb{R} : f, \mbox{funzione}}$ sul campo $ \mathbb{R}$.

Prima definizione
Siano
1 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, con $ f \in \mathbb{F}$
2 $(x_i,f(x_i))$ con $i=1,…N$, dove $x_i \in [a,b], \forall i $
3 ${l_i}$ con $i=1,…N$ funzioni definite in $[a,b]$ linearmente indipendenti
Il problema dell’interpolazione consiste nel determinare una funzione $y(x)=\sum_{i=1}^Nc_il_i(x)$ per cui $y(x_i)=f(x_i)$

Seconda definizione
Siano
1 $U$ spazio lineare di dimensione $N$
2 $N$ scalari $f_i$ con $i=1,…N$
3 $N$ funzionali lineari ${l_i}$ con $i=1,…N$ definiti in $U$
Il problema dell’interpolazione consiste nel determinare $y\in U$ tale che $l_i(y)=f_i$ con $i=1,…N$.

Spero di avermi fatto capire qual'è il mio intendo.

Ciao

Non sono stato molto chiaro ?