Equazione differenziale non lineare

Buongiorno a tutti. Vi presento il mio problema:
data la seguente equazione \(\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial t}=\alpha \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} -\beta \phi\frac{\partial \phi }{\partial x} \) con condizioni periodiche e condizione iniziale pari a \(\displaystyle \phi(x,0)=\frac{1}{2}+cos(4 \pi x) \) devo determinare la soluzione numerica \(\displaystyle \bar{\phi} (\bar{x}) \) dove \(\displaystyle \bar{x}=\frac{\bar{\psi}^{\frac{4}{5}}}{max({\bar{\psi}^{\frac{4}{5}}})} \) e \(\displaystyle \psi=linspace(0, 1, N) \) per poi evolverla nel tempo tramite Runge-Kutta.

Inoltre per il termine convettivo devo usare il seguente schema nel generico nodo i-esimo:
\(\displaystyle \phi\frac{\partial \phi}{\partial x}=\bar{\phi_i} \frac{\bar{\phi_i}-\bar{\phi}_{i-1}}{\bar{x_i}-\bar{x}_{i-1}}\).

Vorrei una mano in quest'ultima parte siccome non riesco a capire come implementare questo schema.