variabli decisionali in problema di miscelazione

Salve a tutti, volevo chiedere a voi una mano per quanto riguarda un classico "problema di miscelazione" di ricerca operativa. la traccia ci dice che abbiamo 3 composti (misure espresse in grammi contenuti in 100 grammi di composto):

-composto 1 formato da 14 gr di proteine, 25 di carboidrati, 57 di grassi e 4 di altro
-composto 2 formato da 15 gr di proteine, 37 di carboidrati, 40 di grassi e 8 di altro
-composto 3 formato da 40 gr di proteine, 20 di carboidrati, 25 di grassi e 15 di altro

dobbiamo miscelare i 3 composti per ottenete un prodotto in confezioni dal peso di 500 gr che contengono almeno 120 gr di proteine, 115 gr di carboidrati e 210 gr di grassi.
Il problema subentra in questo momento, nella risoluzione guidata il mio problema è nei vincoli ovvero: indichiamo con $ x_i $ come il numero di etti del composto i (i=1;2;3) contenuti in una confezione di 500 gr; i vincoli saranno:

$ 14 x_1 + 15 x_2 + 40 x_3 >= 120 $
$ 25 x_1 + 37 x_2 + 20 x_3 >= 115 $
$ 57 x_1 + 40 x_2 + 25 x_3 >= 210 $
$ x_1 + x_2 + x_3 = 5 $

mentre effettuando lo stesso problema ma in termini di Xi pari al numero di grammi dei composto i contenuto in una confezione i coefficienti tecnologici diventano 0.14, 0.15 ecc ecc mentre i termini noti rimangono uguali. Il problema è che non riesco a capire perchè una misura espressa in grammi contenuti in 100 Gr di composto può diventare etti rimanendo sempre uguale, ovvero 14, 15 ecc ecc. intuitivamente avrei scritto 0.14 esprimendo le variabili decisionali in etti per confezione e i termini noti anch'essi dovevano essere trasformati, invece no.
grazie mille a chiunque possa aiutarmi, non riesco davvero a capire la logica dietro a questa cosa

Ciao! Se in ogni \(100\,g\) di composto sappiamo esservi \(14\,g\) di proteine equivale a dire il \(14\%\) del composto è formato da proteine. Pertanto, se prelevo \(170\,g\) di quel composto avrò prelevato \(0.14\cdot 170\,g = 23.8\,g\) di proteine, mentre se ragiono in ettogrammi, ossia \(1.7\,hg\), per ottenere il risultato in grammi dovrò calcolare \(14\cdot 1.7\,g = 23.8\,g\). Insomma, il tutto è dovuto al fatto che a destra delle disequazioni hai sempre quantità espresse in grammi, mentre a sinistra alle volte ce le hai in grammi, altre volte in ettogrammi. Naturalmente, nessuno vieta di tenere sempre come coefficienti \(0.14\). In tal caso, però, tocca convertire le quantità a destra delle disequazioni nella stessa unità di misura delle quantità presenti a sinistra.

Ciao! Se in ogni \(100\,g\) di composto sappiamo esservi \(14\,g\) di proteine equivale a dire il \(14\%\) del composto è formato da proteine. Pertanto, se prelevo \(170\,g\) di quel composto avrò prelevato \(0.14\cdot 170\,g = 23.8\,g\) di proteine, mentre se ragiono in ettogrammi, ossia \(1.7\,hg\), per ottenere il risultato in grammi dovrò calcolare \(14\cdot 1.7\,g = 23.8\,g\). Insomma, il tutto è dovuto al fatto che a destra delle disequazioni hai sempre quantità espresse in grammi, mentre a sinistra alle volte ce le hai in grammi, altre volte in ettogrammi. Naturalmente, nessuno vieta di tenere sempre come coefficienti \(0.14\). In tal caso, però, tocca convertire le quantità a destra delle disequazioni nella stessa unità di misura delle quantità presenti a sinistra.

ok credo di aver capito. Quindi ad esempio se nella traccia fosse stato 14 grammi contenuti 200 gr, posto che $x_i$ rimanga sempre numero di etti per confezione, avrei dovuto scrivere $7 x_1$?
in definitiva posso considerare il coefficiente in questione come un rifermento di una proporzione che cambia in base all'unità di misura che io voglio esprimere?

e comunque grazie mille, gentilissim*

Esattamente così, vedo che hai colto il punto della questione. I numerelli che ti danno all'inizio sono dei numeri puri, delle percentuali se vogliamo, le unità di misura stanno invece in \(x_i\) e nei termini a membro destro della disequazione che devono essere sempre espressi con la stessa unità di misura. Al di là di tutto ciò, poi c'è anche da dire che è preferibile scrivere un'equazione o una disequazione a coefficienti interi piuttosto che frazionari, da qui la scelta dall'autore di esprimere quei coefficienti tramite numeri interi.

ti ringrazio, molto gentile. Era l'unica cosa con la quale avevo qualche difficoltà in ricerca operativa, grazie mille ancora