[Scienza delle Costruzioni] ESERCIZIO

Salve ho riscontrato "problemi" nella risoluzione in un esercizio di cui vi metto il testo qui sotto.




il dubbio è su come svolgerlo....
mi sembra chiaro che sia un caso cinematico ma non so come considerare la molla in questo caso.
spero mi possiate aiutare.
Grazie in anticipo

Assegnata la seguente struttura isostatica:



ricordando le formulazioni del modello di trave alla Eulero-Bernoulli: \[
\varphi(x) = -y'(x),
\quad \quad
M(x) = -EJ\,y''(x),
\quad \quad
T(x) = -EJ\,y'''(x),
\quad \quad
q(x) = EJ\,y''''(x)
\] e ricordando che per le molle ideali vale la legge di Hooke: \[
T = k_t\,\Delta y \; (\text{molle traslazionali}),
\quad \quad
M = k_r\,\Delta \varphi \; (\text{molle rotazionali})
\] si richiede la determinazione della funzione spostamento, ossia della linea elastica: \[
y(x) =
\begin{cases}
y_1(x) & \text{se} \; 0 \le x \le L \\
y_2(x) & \text{se} \; L \le x \le 3L \\
\end{cases}
\] e successivamente si richiede di graficarla, ossia di tracciare la deformata elastica.

Grazie mille!!!

Prego! Quindi, cosa ti risulta? Non essendo del tutto banale te lo commento.

Si tratta di integrare un sistema di due equazioni differenziali ordinarie: \[
y_1''''(x) = \frac{q}{EJ},
\quad \quad \quad
y_2''''(x) = \frac{q}{EJ}
\] che necessitano di essere accompagnate da \(4+4\) condizioni al contorno:

• in \(x=0\) c'è una cerniera vincolata a terra, quindi \(y_1(0)=0\), \(M_1(0)=0\);
  
  
• in \(x=3L\) c'è un carrello vincolato a terra, quindi \(y_2(3L)=0\), \(M_2(3L)=0\);
  
  
• in \(x=L\) c'è un incastro interno, quindi: \(T_1(L)=T_2(L)\), \(M_1(L)=M_2(L)\);
  
  
• in \(x=L\) se vi fosse un incastro perfetto: \(y_1(L)=y_2(L)\), \(\varphi_1(L) = \varphi_2(L)\);
  
  
• in \(x=L\) se vi fosse un incastro cedevole elasticamente sia alla traslazione che
  alla rotazione: \(T_1(L) = k_t\left(y_2(L)-y_1(L)\right)\), \(M_1(L) = k_r\left(\varphi_2(L)-\varphi_1(L)\right)\);
  
  
• in \(x=L\), quindi, occorre imporre \(y_1(L)=y_2(L)\), \(M_1(L) = k_r\left(\varphi_2(L)-\varphi_1(L)\right)\).

Da qui in avanti è un noioso problema algebrico, seguito da un problema analitico.