(esercizio con forzamento, sistemi dinamici)

Buongiorno,
ho un dubbio su come risolvere questo esercizio, purtroppo consultando i libri non ho trovato nulla

Assegnato il sistema tempo continuo caratterizzato dal modello implicito ingresso-uscita lineare e stazionario

$ (d^2 y(t))/(d t^2)+ 100(d y(t))/(d t) + 2500y(t) = 2500u(t) $

[i]calcolare la risposta a regime permanente che si ottiene dal forzamento
$ u(t) = 4t^2 + 2 $[/i]

Ho calcolato il polinomio caratteristico, ma non so andare avanti. Grazie.

Ciao NIcholasGiovs, benvenuto nel Forum

Ci sono diversi modi per risolvere un problema del genere, ma la cosa più semplice è quella di osservare che:

1) il sistema è asintoticamente stabile (come avrai verificato dal polinomio caratteristico)
2) a causa di 1) la risposta a regime corrisponde alla risposta a regime della forzante
3) e questa corrisponde alla soluzione particolare dell'equazione differenziale

Per trovare la soluzione particolare puoi usare il metodo della somiglianza ovvero se ho un polinomio in ingresso anche l'uscita sarà un polinomio oppure se l'ingresso è una sinusoide l'uscita sarà una composizione di seni e coseni (in questo caso il metodo dei fasori è particolarmente efficace). Più in generale si può usare il metodo di variazione delle costanti arbitrarie, ma succede di rado che si debba ricorrere a tale metodo.

Quindi se $u(t) = 4t^2 + 2$ puoi provare con $y(t) = at^2+bt+c$. Sostituendo nell'equazione e uguagliando i termini di uguale potenza troverai 3 equazioni che ti forniranno i valori di a,b,c.

Grazie mille per la risposta,
ha risolto i miei dubbi passati e presenti!
Grazie ancora, è stato chiarissimo!

Ciao NIcholasGiovs, benvenuto nel Forum

Ci sono diversi modi per risolvere un problema del genere, ma la cosa più semplice è quella di osservare che:

1) il sistema è asintoticamente stabile (come avrai verificato dal polinomio caratteristico)
2) a causa di 1) la risposta a regime corrisponde alla risposta a regime della forzante
3) e questa corrisponde alla soluzione particolare dell'equazione differenziale

Per trovare la soluzione particolare puoi usare il metodo della somiglianza ovvero se ho un polinomio in ingresso anche l'uscita sarà un polinomio oppure se l'ingresso è una sinusoide l'uscita sarà una composizione di seni e coseni (in questo caso il metodo dei fasori è particolarmente efficace). Più in generale si può usare il metodo di variazione delle costanti arbitrarie, ma succede di rado che si debba ricorrere a tale metodo.

Quindi se $u(t) = 4t^2 + 2$ puoi provare con $y(t) = at^2+bt+c$. Sostituendo nell'equazione e uguagliando i termini di uguale potenza troverai 3 equazioni che ti forniranno i valori di a,b,c.

Scusami il disturbo, ho saputo che il Professore vuole la soluzione di questo esercizio utilizzando Laplace. Come devo procedere?

Devi trasformare con Laplace la risposta all'ingresso. Puoi supporre per semplicità condizioni iniziali nulle in quanto la risposta libera dovuta a tali condizioni iniziali si annullerebbe comunque a regime essendo il sistema asintoticamente stabile.

Quindi trasformando con Laplace si ottiene.

$Y(s) = 2500*(8/s^3+2/s)/(s^2+100s+2500)$

Sviluppando in fratti semplici si ha:

$Y(s) = A/s^3+B/s^2+C/s+D/(s+50)+E/(s+50)^2$

Gli ultimi due termini sono la risposta transitoria dovuta alla forzante e si annullano a regime per cui non ci interessano

Sono invece da determinare i primi 3 coefficienti e quindi antitrasformare.
Se tutto è corretto si devono ottenere gli stessi valori del metodo precedente.