Il tutto nasce dal problema che parametrizzazioni diverse non sappiamo se donino lunghezze di curve (a fissata metrica) diverse e in generale parametrizzazioni diverse se definiamo qualcosa a partire da essa dobbiamo provare l'indipendenza dalla scelta arbitraria di "parametrizzazione usata". Per la lunghezza presa come esempio, in effetti è così, perché c'è il cambio di variabili per l'integrale e si nota che il valore di essa è fissata indipendentemente da come decido di parametrizzare la curva.
Per evitare questa scocciatura di continuare a verificare l'invarianza per cambio parametrizzazione, si vuole definire una parametrizzazione canonica "unica" e "intrinseca", quella che chiama lunghezza d'arco.
Anzitutto una definizione e un breve lemma:
# data una curva parametrizzabile, scelto un punto p di essa, diciamo che una sua parametrizzazione $alpha(s)$ è per lunghezza d'arco se per ogni p' di C la lunghezza del tratto di curva tra p e p' coincide col valore del parametro s.
#data una curva parametrizzabile e un punto p, una sua parametrizzazione $alpha(s)$ è per lunghezza d'arco sse $|dotalpha(s)|=1$
Il professore ha poi detto che
"La lunghezza d’arco ha un
interesse teorico addizionale: la sua esistenza dimostra che qualunque curva
parametrizzabile in Rn e' isometrica ad un intervallo di R. In altre parole, dal
punto di vista intrinseco, non esiste differenza tra "qualcosa di curvo e qualcosa di piatto"
(formalizzeremo meglio nel seguito). Le nozioni di curvatura e torsione che stiamo per esaminare
riguardano allora solo le proprietà estrinseche della curva, ossia la sua relazione con lo spazio ambiente
in cui vive"
Sono però confuso sul concetto che la parametrizzazione per lunghezza d'arco dia qualcosa di intrinseco, mi spiego:
Io so che data una parametrizzazione e una metrica la lunghezza è: $L(alpha)=int_a^b|dotalpha(t)|dt$, dunque il valore di L dipende dalla metrica dell'ambiente esterno (se sono immerso) e quindi è qualcosa di estrinseco, se la cambio avrò un valore diverso numerico di L.
Se voglio passare a lunghezza d'arco data una certa parametrizzazione il processo è il seguente: definisco una $S(t)=int_a^t|dotalpha(t)|dt$. Ora, se io cambio la metrica avrò due S(t) diverse per due metriche diverse, ergo avrò due possibili parametrizzazioni $S_1 : [a; b] -> [0;L], t \mapsto s(t)$, $S_2 : [a; b] -> [0;L']$.
E ovviamente anche le lunghezze saranno diverse: $L(alpha(s_1))=int_a^b|dotalpha(s_1)|ds_1!=int_a^b|dotalpha(s_2)|ds_2=L(alpha(s_2))$
Quindi cosa c'è di così intrinseco? Ho due parametri $s_1$ e $s_2$ diversi, con "intrinseco" mi aspettavo qualcosa che non variasse a seconda della scelta "esterna".
Non mi è molto chiaro il senso del discorso devo dire. Sapreste aiutarmi?
