Non mi è chiara l'ultima parte della dimostrazione di questo teorema:
Consideriamo $n+2$ punti $P_1,...,P_(n+2) \in P(V)$. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
$a)$ $P_1,...,P_(n+2)$ sono in posizione generale
$b)$ $exists B={v_1,...,v_(n+1)}$ base di $V$ tale che $P_1=[v_1],...,P_(n+1)=[v_(n+1)]$ e $P_(n+2)=[v_1+...+v_(n+1)]$.
Inoltre tutte le basi di $V$ soddisfacenti il punto $b)$ sono tra loro proporzionali (quindi individuano le stesse coordinate omogenee).
Il dubbio riguarda l'ultima affermazione e viene risolta così:
Osserviamo che se $B'={u_1,...,u_(n+1)}$ soddisfa la $b)$ allora $forall i=1,...,n+1 " " exists mu_i \in K^"*" t.c. u_i=mu_iv_i$ e $P_(n+2)=[v_1+...+v_(n+1)]=[mu_1v_1+...+mu_(n+1)v_(n+1)]$ allora $mu_1v_1+...+mu_(n+1)v_(n+1)=lambda(v_1+...+v_(n+1)) rArr (mu_1-lambda)v_1+...+(mu_(n+1)-lambda)v_(n+1)=0 rArr mu_i-lambda=0 forall i=1...n+1 rArr mu_i=lambda$
cioè $B$ e $B'$ sono proporzionali.
Se ad esempio considero due basi di $RR^3$, $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ con $P_4=[1,1,1]$ e la base $B'={(2,1,0),(0,1,2),(2,0,1)}$ con $P'_4=[4,2,3]$ ho che entrambe soddisfano $b)$ ma non è vero che esiste uno scalare $mu_1$ tale che $(2,1,0)=mu_1$*qualche vettore della base $B$ e non è nemmeno vero che $[1,1,1]=[4,2,3]$.
Ho sbagliato esempio o non ho capito quello che mi sta dicendo?
Vi ringrazio per l'aiuto!
(Se serve scrivo l'intera dimostrazione, mi sembrava superflua)