Insieme a pezzi sindetico a sinistra ma non a destra in gruppo di Heisenberg

Sia \[ L= \begin{Bmatrix}
\begin{pmatrix}
1& x&y \\
0& 1& z\\
0&0 &1
\end{pmatrix} \in H_3(\mathbb{Z}) : \left| y \right| \leq z
\end{Bmatrix} \]
Dove \( H_3(\mathbb{Z}) \) è il gruppo di Heisenberg. E sia una matrice \( A=\begin{pmatrix}
1& a&c \\
0& 1& b\\
0&0 &1
\end{pmatrix} \in H_3(\mathbb{Z}) \) tale che \( L A \) "è essenzialmente" \(L\), quindi interseca \(L\) in un insieme infinito o addirittura se possibile è \(L\) tranne al più un numero finito di matrici.

Domanda: E' vero che \( A^{-1} = \begin{pmatrix}
1& -a& ab-c \\
0& 1& -b\\
0&0 &1
\end{pmatrix} \) è tale che \( LA^{-1} \cap L \) è finito?

Ricordo che la moltiplicazione nel gruppo di Heisenberg è data da
\[ \begin{pmatrix}
1& x&y \\
0& 1& z\\
0&0 &1
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
1& a&c \\
0& 1& b\\
0&0 &1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1& x+a&c+y+xb \\
0& 1& z+b\\
0&0 &1
\end{pmatrix} \]

Edit:
Motivazione della domanda:
Io ho che \(L\) è a pezzi sindetico a sinistra quindi esiste un ultrafiltro \(p \in \beta H_3(\mathbb{Z}) \), la compattificazione di Stone-Cech di \(H_3(\mathbb{Z}) \), tale che \(p \in K(\beta H_3(\mathbb{Z}) ) \), l'ideale minimale di \( \beta H_3(\mathbb{Z}) \), e tale che \( L \in p \) e inoltre si ha che \( \{ A \in H_3(\mathbb{Z}) : L A^{-1} \in p \} \) è sindetico a sinistra. Mi piacerebbe sapere se questo insieme non è sindetico a destra oppure sì.