15/04/2024, 08:39
15/04/2024, 09:33
Infatti non ne è dotato; lo spazio proiettivo su $(0)$ è l'insieme vuoto, e si chiama "vuoto proiettivo". Vedi qui https://www.cis.upenn.edu/~jean/gma-v2-chap5.pdf a pagina 9paolo1712 ha scritto:come fa l'insieme vuoto ad essere dotato di struttura di spazio vettoriale?
No. Tu stai rappresentando un punto dello spazio proiettivo come il sottospazio generato da un vettore, meno il suo vettore zero. Questo è sbagliato: un punto di \(\mathbb P V\) è il sottospazio tutto intero, e i punti di \(\mathbb P V\) sono tutti i sottospazi, meno quello nullo.Ma allora $P^1(\RR)$ non dovrebbe essere un insieme di rette discontinue nell'origine?
Ti sta venendo spiegato un modo di assegnare ai punti di \(\mathbb P V\) delle coordinate (pl¨uckeriane) quando sai assegnare delle coordinate ai vettori di $V$ in termini di una base.Che cosa si intende con coordinate di$\RR^2$?
Cosa hai cercato di fare, e perché? Sicuramente questa cosa viene spiegata dappertutto: il cambio di coordinate proiettive avviene con un automorfismo di $V$, considerato a meno di moltiplicazione per uno scalare non nullo. Vedi qui https://en.wikipedia.org/wiki/Projective_linear_groupOra, io ho provato a fare un esempio scegliendo 4 basi casuali, non proporzionali. Non è vero che le matrici di passaggio sono (sempre) proporzionali. Ho sbagliato io a fare i conti o vale solo per basi proporzionali o per basi con determinate caratteristiche?
15/04/2024, 10:20
No. Tu stai rappresentando un punto dello spazio proiettivo come il sottospazio generato da un vettore, meno il suo vettore zero. Questo è sbagliato: un punto di \(\mathbb P V\) è il sottospazio tutto intero, e i punti di \(\mathbb P V\) sono tutti i sottospazi, meno quello nullo.
Cosa hai cercato di fare, e perché?
Sicuramente questa cosa viene spiegata dappertutto: il cambio di coordinate proiettive avviene con un automorfismo di $V$, considerato a meno di moltiplicazione per uno scalare non nullo.
15/04/2024, 11:19
No. la classe di equivalenza del vettore nullo è il singoletto fatto dal vettore nullo stesso (perché se \(\lambda v=0\) deve essere per forza una delle due: o \(\lambda=0\), o \(v=0\): gli spazi vettoriali non hanno elementi di torsione); in altre parole, il vuoto proiettivo \(\varnothing\) in \(\mathbb P V\) corrisponde al sottospazio $(0)$.paolo1712 ha scritto:1) chiaro.No. Tu stai rappresentando un punto dello spazio proiettivo come il sottospazio generato da un vettore, meno il suo vettore zero. Questo è sbagliato: un punto di \(\mathbb P V\) è il sottospazio tutto intero, e i punti di \(\mathbb P V\) sono tutti i sottospazi, meno quello nullo.
Il motivo per cui ho affermato questo è che, se ho due vettori $v,u \in V-{0}$ se $v~u$ allora esiste $lambda t.c. v=lambda*u$ e necessariamente $lambda!=0$ altrimenti $v=0$ dunque $lambda\in K-{0}$ quindi $[v]=<v>"-"{0}$
15/04/2024, 11:49
15/04/2024, 11:56
15/04/2024, 18:53
15/04/2024, 19:47
penso che si tratti unicamente della seguente banalità: la composizione di matrici [applicazioni lineari], o l'applicazione matrice-vettore [applicazione a vettore] è bilineare, cioè per \(A\in M_{n+1}(K)\), \(v\in V\) (di dimensione n+1) e \(\alpha\in K\), si ha \((\alpha A).v = A.(\alpha v)=\alpha(A.v)\).basi a due a due proporzionali, generano matrici di passaggio a loro volta proporzionali.
16/04/2024, 07:06
megas_archon ha scritto:Però questo all'inizio è un po' arduo da vedere, e ci si affida a modelli più basati sulla geometria lineare.
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