Definizione campo vettoriale

Ciao, volevo chiedervi un aiuto su questa definizione:credo di non capire perché definendo $X:=dphi_i(X_i)$ si abbia l'equivalenza indicata di definizioni. Mi potreste aiutare nella comprensione? Grazie.

Devi semplicemente controllare che quella definizione di $X$ ti dà una sezione liscia della proiezione \(TM\to M\). Scegliendo carte locali per entrambe, a cosa corrisponde una mappa liscia tra due varietà?

Non sono ancora molto sveglio su questi ragionamenti.

Scegliendo carte locali per entrambe, a cosa corrisponde una mappa liscia tra due varietà?

mi verrebbe da dire (a torto[?]) che date le carte $phi, psi$ e $F$ mappa tra $TM$ e $M$ varietà, deve essere liscia: $psi^-1∘F∘phi$?

Inverti dominio e codominio di \(F\)...

Ok posso anche invertirla ma credo di essermi bloccato nella comprensione, quella diamine di $X:=dphi_i(X_i)$(*) non la capisco.

M.A. consigliava di controllare che la X così definita mi desse una $pi: TM->M$ liscia. Alché ho detto per me liscia vorrebbe dire, con le carte $ϕ,ψ$ che $ψ^−1∘F∘ϕ in C^oo$. Ok, ma quindi? non riesco a farmi uscire quel (*).

Mi sono incastrato :\

Io partirei dalla definizione "classica" di campo vettoriale: una sezione del fibrato tangente.

Poi passerei alle carte locali per fare i calcoli, e vedere alla fine cosa ne esce fuori!