Esercizio Topologia da operatore parte interna

Ho svolto il terzo esercizio del primo capitolo del libro di John Kelley e volevo sapere se è giusto non avendo le soluzioni. Riporto il testo: "If ° is an operator which carries subsets of $X$ into subsets of $X$, and $ \mathfrak(T) $ is the family of all subsets such that $A^° = A$, under what conditions will $ \mathfrak(T) $ be a topology for $X$ and ° the interior operator relative to this topology?"

Io credo di aver scritto le 4 proprietà che caratterizzano la parte interna:
1) $X^° = X$
2) $A supe A^°$
3) $(A^°)^° = A^°$
4) $(A nn B)^° = A^° nn B^°$

Dimostro prima che $ \mathfrak(T) $ è una topologia:
l'insieme vuoto appartiene a $ \mathfrak(T) $ perchè per 2) la parte interna del vuoto è contenuta nel vuoto quindi è pure vuota, quindi $\emptyset in \mathfrak(T)$.

Dalla 4) si deduce che se $A supe B rArr B = A nn B rArr B^° = (A nn B)^° = A^° nn B^° rArr A^° supe B^°$
Quindi se $A supe B rArr A^° supe B^°$ (5)

Inoltre data una qualsiasi famiglia di insiemi di $\mathfrak(T), {A_i}_{i in I}$, cioè tali che $A_i^° = A_i AA i in I$ si ha che $\cup_i A_i supe A_i AA i in I$ quindi per la (5) ho che $(\cup_i A_i)^° supe A_i^° AA i in I$, quindi $(\cup_i A_i)^° supe \cup_i A_i^°$, ma $A_i^° = A_i AA i in I rArr (\cup_i A_i)^° supe \cup_i A_i$. D'altronde essendo gli $A_i in \mathfrak(T)$ si ha $\cup_i A_i = \cup_i A_i^° rArr (\cup_i A_i)^° = (\cup_i A_i^°)^°$ che per 2) è contenuto in $\cup_i A_i^°$, che a sua volta è uguale a $\cup_i A_i$, quindi $\cup_i A_i supe (\cup_i A_i)^°$. Quindi $(\cup_i A_i)^° = \cup_i A_i rArr \cup_i A_i in \mathfrak(T)$. Per 4) anche l'intersezione di due insiemi appartenenti a $\mathfrak(T)$ appartiene a $\mathfrak(T) $ stesso.

Così ho dimostrato che affinché $\mathfrak(T)$ sia una topologia, bastano in realtà le proprietà 1), 2) e 4).

Dimostro ora che l'operatore con quelle 4 proprietà è proprio l'operatore parte interna $A^i$, fornito dalla topologia $\mathfrak(T)$, devo dimostrare cioè che dato un insieme qualsiasi $A$ allora $A^°$ è proprio la sua parte interna $A^i$.
Dato che $A^i$ è l'insieme degli elementi appartenenti ad un aperto contenuto in $A$ allora $A^i$ è l'unione degli aperti contenuti in $A$, quindi dato che $A^° in \mathfrak(T) rArr A^i supe A^°$. D'altra parte essendo $A^i$ un aperto si ha $(A^i)^° = A^i$, quindi per la (5) dato che $A supe A^i rArr A^° supe (A^i)^° = A^i$ Quindi $A^i = A^°$

[...[ Inoltre data una qualsiasi famiglia di insiemi di $\mathfrak(T), {A_i}_{i in I}$, cioè tali che $A_i^° = A_i AA i in I$ si ha che $\cup_i A_i supe A_i AA i in I$ quindi per la (5) ho che $(\cup_i A_i)^° supe A_i^° AA i in I$, quindi $(\cup_i A_i)^° supe \cup_i A_i^°$, ma $A_i^° = A_i AA i in I rArr (\cup_i A_i)^° supe \cup_i A_i$. [...]

Applicando (2) deduci sùbito l'eguaglianza tra questi insiemi!

Non leggo altro da segnalarti!

Grazie Armando!