Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
07/04/2024, 08:29
Potreste dirmi se la seguente dimostrazione è valida? Le uniche che trovo su internet sono inerenti agli endomorfismi autoaggiunti (che so essere equivalenti se si scelgono basi ortonormali).
Devo dimostrare che :
1) Sia $A$, una matrice simmetrica, allora $A$ è diagonalizzabile.
2) Sia $A$ simmetrica allora è diagonalizzabile mediante una matrice ortogonale.
3) Sia $A$ diagonalizzabile e se esiste $Q$ ortogonale tale che $Q^T*A*Q=D$, $D$ diagonale, allora A è simmetrica.
Dimostrazione
1) Sia $A$ una matrice simmetrica associato ad endomorfismo $f$ rispetto ad una base ortonormale $B$, dunque $f$ è autoaggiunto. Allora esiste una base $B'$ ortonormale formata da autovettori, dunque $f$ è diagonalizzabile ovvero la matrice $D$ associata a $f$ rispetto a $B'$ è diagonale. Poiché le matrici di un endomorfismo rispetto a basi diverse sono tutte simili allora A è diagonalizzabile ovvero esiste una matrice $P$ (matrice di passaggio da B a B') t.c. $P^-1*A*P=D$. Inoltre poiché la matrice di passaggio tra due basi ortonormali è ortogonale, ho dimostrato anche 2).
3)Poiché $Q^T*A*Q=D$ allora $A=Q*D*Q^T$ e quindi $A^T=(Q*D*Q^T)^T=Q*D*Q^T=A$ In quanto $D^T=D$
I miei dubbi sono inerenti alla dimostrazione del punto 1) in quanto ho usato praticamente il teorema spettrale inerente agli endomorfismi autoaggiunti e quindi credo sia errato. Si può giungere alla conclusione in maniera più semplice?
Grazie mille!
07/04/2024, 09:06
La cosa che devi dimostrare è essenzialmente il teorema spettrale, sebbene ci siano dei modi di dimostrare solo questo pezzo (simmetrica \(\Rightarrow\) diagonalizzabile).
Tra l'altro, su quale campo stai prendendo gli spazi vettoriali?
07/04/2024, 09:50
Reale, non credevo si potesse definire il teorema per campi complessi.
Posso concludere che la dimostrazione è sbagliata?
17/04/2024, 18:10
paolo1712 ha scritto: non credevo si potesse definire il teorema
Enunciare il teorema (i teoremi non si definiscono, si enunciano e poi si dimostrano).
19/04/2024, 09:43
:S mi suonava calzante. Grazie per la correzione!
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