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Buonasera menti matematiche, mi domando se alcuni sottoinsiemi di matrici in $GL_n(\mathbb{R})$ siano aperti o chiusi (o nessuno dei due, o entrambi...). Per esempio, se chiamiamo $M(W,Z)$ l'insieme
\[
\{A\in GL_n(\mathbb{R})| AW=Z\}
\]
Questo è aperto? chiuso? (onestamente io spero sia chiuso, perché mi sarebbe comodo)
Naturalmente ci interessa il caso non banale, cioè quello in cui $k=dim(W)=dim(Z)<n$.

Ho provato a definire la mappa
\[
f:GL_n(\mathbb{R})\rightarrow Gr(k,n)\\
A\mapsto AW
\]
dove $Gr(k,n)$ sono le Grassmanniane di rango $k$ in $\mathbb{R}^n$,
sperando che venisse facilmente continua per poi dire che $M(W,Z)=f^{-1}(Z)$, ma si è rivelato un problema più grande. Altre idee?

Cosa sono W e Z? Sottospazi, sottoinsiemi? Fioriere? E in che topologia vuoi la risposta?

$W$ e $Z$ sono ovviamente sottospazi (se no di che dimensione parliamo?), mentre la topologia è ovviamente la euclidea su $GL_n(\mathbb{R})$ mentre quella sulle grassmanniane è l'unica topologia che conosco e che non saprei come descrivere se non come: quella che viene dall'identificazione di alcuni sottoinsiemi (le carte di $Gr(k,n)$) con alcuni chiusi di $\mathbb{R}^{n^2}$. Comunque la topologia sulle grassmanniane non è importante, tanto è un tentativo mio che non è necessario per risolvere il problema

Prendi due matrici invertibili $B,C$ tali che $BW=CZ=\mathbb R^k$, dove sto pensando $\mathbb R^k$ come i vettori di $\mathbb R^n$ che hanno $0$ sulle ultime $n-k$ coordinate. Allora $AW=Z$ se e solo se $CAB^{-1}(BW)=CZ$, ovvero se e solo se $CAB^{-1}(\mathbb R^k)=\mathbb R^k$. Se $G=\{M\in GL_n(\mathbb R): M(\mathbb R^k)=\mathbb R^k\}$, c'è quindi una biiezione $\{A: AW=Z\}\to G$ data da moltiplicare per $C$ a sinistra e per $B^{-1}$ a destra. D'altra parte $GL_n(\mathbb R)$ è un gruppo topologico rispetto alla moltiplicazione di matrici, per cui questa biiezione è anche un omeomorfismo. Ci siamo quindi ridotti a studiare $G$. Ma adesso è facile vedere com'è fatto $G$: sono tutte le matrici le cui entrate $a_{ij}$ con $i>k$ e \(j=1,\dots,k\) sono nulle. Riesci ora a vedere se $G$ è aperto/chiuso?

Chiedo che alcune entrate siano nulle, dovrebbe essere un chiuso di $M_{n\times n}(\mathbb{R})$, quindi un chiuso di $GL_n(\mathbb{R})$. Grazie

Cannelloni ha scritto:Chiedo che alcune entrate siano nulle, dovrebbe essere un chiuso di $M_{n\times n}(\mathbb{R})$, quindi un chiuso di $GL_n(\mathbb{R})$. Grazie

Esattamente, stai intersecando un chiuso di $\mathbb R^{n^2}$ con $GL_n$. Ed è anche facile vedere che non è aperto.