Devo dimostrare il seguente teorema:
Sia $F:V->W$ un'applicazione lineare. Sia $B={v_1...v_n}$ una base ortonormale di $V$. Sono equivalenti:
a)$F$ è un'isometria
b)$B'={F(v_1)...F(v_n)}$ è base ortonormale di $W$.
Ho difficoltà con l'implicazione b)=>a). Pensavo:
Per ipotesi sappiamo che $g'(F(v_i),F(v_j))=\delta_i ^j$. Supponendo per assurdo che $F$ non sia un'isometria allora $\exists i,j: g(v_i,v_j)!=g'(F(v_i),F(v_j))=\delta_i ^j$ ma allora $B$ non è una base ortonormale di $V$. Funziona?
Condizione affinché F sia una isometria è che si conservi il prodotto scalare, come potrei arrivarci alternativamente?
Vi ringrazio!