Problema con cilindro

Buon giorno. Ho questo problema: data la retta in forma parametrica $r:\{(x=2t),(y=5+t),(z=t):}$,

determinare l'equazione cartesiana del cilindro circolare avente per asse di rotazione la retta r e tale che le generatrici abbiano distanza 2 da tale retta.

Purtroppo non ho la più pallida idea di come approcciare a questo tipo di esercizio. Sapreste darmi almeno un suggerimento per impostarlo?

Questa e' una matrice di cambio base ortonormale.
$((x'), (y'), (z'))=((-2/\sqrt30, -1/\sqrt30, 5/\sqrt30),(1/\sqrt5, -2/\sqrt5, 0),(2/\sqrt6, 1/\sqrt6, 1/\sqrt6))((x), (y), (z))$
Se noti, l'asse $z$ viene portato su un asse $z'$ che e' parallelo alla retta di rotazione.

Quindi prendi un cilindro fatto allo stesso modo in forma canonica, ovvero $x^2/4+y^2/4 = 1$,
sostituisci a $x,y$ le coordinate $x', y', z'$ usando la trasformazione che ti ho dato,
poi effettui la traslazione sostituendo a $y'$, una nuova coordinata $y-5$.

Bene, mi è chiaro, ma come hai ottenuto quella matrice?

Sapreste darmi almeno un suggerimento per impostarlo?

I punti di un cilindro di raggio \(r>0\) possono essere parametrizzati nel seguente modo: \[
\boxed{P=A+u\,\mathbf{t}+r\cos(v)\,\mathbf{n}+r\sin(v)\,\mathbf{b}, \quad (u,v)\in\mathbb{R}\times[0,2\pi)\,}
\] dove \(A\) è un punto dell'asse, \(\mathbf{t},\mathbf{n},\mathbf{b}\) sono versori tangente, normale e binormale all'asse.

Note le equazioni parametriche, l'equazione cartesiana si determina eliminando \(u\) e \(v\).

Capisco, anche se il professore del corso non lo ha mai fatto vedere, ora lo so per un eventuale esercizio all'esame. Grazie ad entrambi!

Se preferisci, puoi fare riferimento alla forma canonica: \[
v^2+w^2=r^2
\] ottenibile tramite rototraslazione: \[
\begin{bmatrix}
u\\
v\\
w\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\mathbf{t}\\
\mathbf{n}\\
\mathbf{b}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x-x_A\\
y-y_A\\
z-z_A\\
\end{bmatrix}
\] che sostanzialmente è quanto ha scritto sopra Quinzio.

Al di là delle formulazioni, però, tu queste cose le devi per forza studiare su qualche libro che te le dimostri in modo preciso, magari con qualche buon grafico per visualizzare la situazione geometrica, altrimenti non ne uscirai vivo da questo labirinto di formule, ogni giorno ti sembrerà di scoprirne di nuove, quando invece sono sempre le stesse viste da un altro punto di vista. Insomma, vale quanto ci eravamo già scritti giorni fa.

Bene, mi è chiaro, ma come hai ottenuto quella matrice?

La matrice si costruisce facendo in modo che l'ultima riga abbia gli stessi parametri dell'asse del cilindro, $(2,1,1)$.
Le altre righe le scegli come ti pare, sempre che la matrice alla fine sia ortonormale.

Cilindro in forma canonica:
$x^2+y^2=4$

con rotazione / sostituzione coordinate

$(-2x-y+5z)^2 / 30 +(x-2y)^2/5 =4$

con traslazione

$(-2x-(y-5)+5z)^2 / 30 +(x-2(y-5))^2/5 =4$

se vai a plottare questa equazione:
https://www.desmos.com/3d/7aecdf14ff

Ti ringrazio per la spiegazione esaustiva. Per rispondere al messaggio precedente di sellacollesella, ho già un libro che sto seguendo ma gli esercizi che pubblico qui sul forum non li prendo da questo libro che a livello di esercizi è molto più semplice. Questo argomento sui cilindri ma anche sui coni è trattato molto superficialmente, sono solo presenti equazioni cartesiane e parametriche date le rette generatrici, nemmeno sono presenti quelle formule che ho visto qui. Se poi avete un testo da consigliarmi che tratti bene questa parte, lo accetto volentieri.

https://fisica.campusnet.unito.it/didat ... 5.file.pdf

https://www.mat.uniroma2.it/~gealbis/FI ... ercizi.pdf