Una sommersione è una mappa aperta

Sia $ \pi :X\rightarrow Y $ una sommersione. Allora è aperta.
Come si potrebbe dimostrare questo fatto? Ho visto che un'idea di dimostrazione prevede di usare il teorema di Dini per varietà per dedurre che $\pi$ è localmente suriettiva ( cioè l'immagine di ogni intorno di $x$ è un intorno di $\pi(x)$ ) . Dopodiché grazie a questo fatto si può mostrare che è aperta.
Io non riesco a capire come procedere nonostante il suggerimento

Forse posso fare questo ragionamento. Io so che esiste una carta $(U_0, \varphi)$ centrata in $x$ per $X$ e una carta $(V_0,\Psi) $centrata in $F(x) $ per $Y$ tale che $\tilde F= \Psi \circ F \circ \varphi^{-1}(x_1,x_2, ...x_m,x_{m+1}....x_n)=(x_1,......,x_m) $. Grazie a questo fatto posso asserire che $\tilde F (\varphi (U_0))= W_0$ è aperto in $\mathbb R^m$. A questo punto per mostrare che $F$ è aperta credo basti osservare che preso un aperto $\Omega$ in $X$ per ogni $x \in \Omega$ posso prendere una carta $(A_x, \varphi_x)$ con $A_x \subset \Omega$ e poi concludere. Sto sbagliando?

Che cos'è una sommersione? Cosa sono $X$ e $Y$? Ricorda queste cose e diventa molto più facile rispondere