Domanda su matrice associata

Buonasera probabilmente quella che vi sto per fare è una domanda stupida, ma non riesco a capire perché se le colonne della matrice associata ad un applicazione lineare sono indipendenti allora le immagini calcolate sui vettori della base di partenza sono indipendenti tra di loro. Nella matrice associata io metto le coordinate dell’immagine sulla base di partenza rispetto alla base di arrivo. Questo ragionamento a me torna solo nel caso in cui la base di arrivo sia la base canonica, ma ho visto che vale sempre, qualcuno saprebbe spiegarmi perché ?

Se la matrice associata a $L$(applicazione lineare) ha tutte le colonne linearmente indipendenti, il $ Ker(L)= 0$ questo implica che $r(L)=n$ (teorema del rango) cioè che $Im(L)=< L(e_1),L(e_2)....L(e_n)>$ abbia dimensione $n$, ove $n$ è la dimensione dello spazio vettoriale di partenza, e perciò i vettori $L(e_1), L(e_2)...L(e_n)$, cioè i vettori immagini di quelli della base di partenza, saranno linearmente indipendenti.
Questo a prescindere dalla base di arrivo, si parla di base canonica solo nei casi più usuali, ma in generale vale sempre.

Ok grazie mille, mi sapresti spiegare anche perché l’immagine è generata dalle colonne della matrice associata indipendentemente dalla scelta della base? Non riesco proprio a capire perché

Ok grazie mille, mi sapresti spiegare anche perché l’immagine è generata dalle colonne della matrice associata indipendentemente dalla scelta della base? Non riesco proprio a capire perché

Ovviamente la matrice associata ad $L$ non è indipendente dalle basi fissate per i due spazi vettoriali di partenza e di arrivo, detto questo, se per esempio consideriamo fissata la base di partenza e poi cambiamo la base in arrivo, devi moltiplicare a sinistra la matrice associata $A$ per quella del cambiamento di base $M$ per passare dalle vecchia base a quella nuova, questa matrice è invertibile, cioè ha tutte le colonne linearmente indipendenti, il prodotto $MA$ sarebbe allora una matrice delle stesse dimensioni della precedente e anch'essa avrebbe tutte le colonne linearmente indipendenti infatti, se assumiamo per assurdo che risultino lin. dipendenti e chiamiamo $\lambda$ un vettore colonna tale che: $MA \lambda =0$ poiché $\nu=A\lambda≠0$ dovrebbe risultare $M\nu= 0$ il che è assurdo.
Quindi si ricade nel caso precedente di matrice $m\times n$ con tutte le colonne linearmente indipendenti.