Esempio di omeomorfismo differenziabile in un aperto

Esibire un esempio di omeomorfismo differenziabile da un aperto non vuoto di $RR^2$ a un aperto della sfera $S^2$ che non sia una parametrizzazione.

Serve trovare un omeomorfismo differenziabile che però non abbia differenziale iniettivo, solo che tutti gli esempi che ho trovato lo sono... qualcuno mi riesce a dare una mano a trovarlo? Grazie.

Se componi una parametrizzazione con $(x,y)\to(x^3,y^3)$ dovrebbe funzionare.

Se componi una parametrizzazione con $(x,y)\to(x^3,y^3)$ dovrebbe funzionare.

se prendo la parametrizzazione $\varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta))$ devo quindi considerare la funzione $\varphi_tilde(theta,xi)=(sen(theta^3)cos(xi^3),sen(theta^3)sen(xi^3),cos(theta^3))$?

Si.

Ma se invece prendessi la funzione $varphi:(-pi/2,pi/2)xx(0,2pi)->S^2$ con $ \varphi(theta,xi)=(sen(theta)cos(xi),sen(theta)sen(xi),cos(theta)) $ avrei che $ \varphi(theta,xi)$ è un omeomorfismo differenziabile ma non è una parametrizzazione in quanto il differenziale di $ \varphi(theta,xi)$ non è iniettivo in $(0,xi)$ con $xi in (0,2pi)$ (infatti i determinanti dei minori della Jacobiana di $ \varphi(theta,xi)$ si annullano tutti in questi punti)
Potrebbe andare?

Non ho controllato ma se è vero quello che dici va bene.

Se componi una parametrizzazione con $(x,y)\to(x^3,y^3)$ dovrebbe funzionare.

In effetti pensandoci bene quello che dici tu è che se compongo una parametrizzazione con un omeomorfismo differenziale ma che non è un diffeomorfismo allora non posso ottenere una parametrizzazione (ma ottengo un omemorfismo differenziabile dato che ne compongo due della stessa natura) dato che se per assurdo ottenessi una parametrizzazione allora la funzione di transizione dovrebbe essere un diffeomorfismo e ciò assurdo per come abbiamo scelto la funzione di transizione.

Nel tuo caso la funzione $(x,y)->(x^3,y^3)$ è un omeomorfismo differenziabile ma non è un diffeomorfismo dato che l'inversa non è differenziabile in $(0,0)$

Solo che devo restringere il dominio di $ (x,y)->(x^3,y^3) $ ad $(0,root(3)(pi))xx(0,root(3)(2pi))$ in modo che la composizione delle due funzione sia ben posta, però in questo dominio la funzione è un diffeomorfismo...

Beh direi allora consideriamo un altra parametrizzazione di $S^2$ che nel dominio contiene l'origine come ad esempio $\varphi(u,v)=(u,v,sqrt(1-u^2-v^2))$ definita sul dominio ${(u,v)|u^2+v^2<1}$ e ci basta restringere il dominio di $ (x,y)->(x^3,y^3) $ a ${(x,y)|x^6+y^6<1}$ cosi dovremmo essere apposto in tutto e quindi la funzione $(x,y)->(x^3,y^3,sqrt(1-x^6-y^6))$ è un omeomorfismo differenziale dall'aperto ${(x,y)|x^6+y^6<1}$ a un aperto di $S^2$ che non è una parametrizzazione.