Poco restrittivo - Sernesi 4.12

Ciao a tutti,
sto cercando di capire la dimostrazione 4.12 del Sernesi di Geometria 1.
Il testo recita:
"Sia \(\displaystyle \{ v_1, ..., v_n\}\) un sistema di generatori di \(\displaystyle V \) \(\displaystyle K \)-spazio vettoriale e siano \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) elementi di \(\displaystyle V \). Se \(\displaystyle m > n \) allora \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) sono linearmente dipendenti."

Inizia la dimostrazione dicendo che:
"Se \(\displaystyle w_1, ..., w_n \) sono linearmente dipendenti lo sono anche \(\displaystyle w_1, ..., w_m \) (e fin qui tutt'appò). Pertanto non sarà restrittivo dimostrare l'asserto supponendo che \(\displaystyle w_1, ..., w_n \) siano linearmente indipendenti."
Su quest'ultima frase mi sono bloccato. Mi sento stupido a dir la verità. Come è possibile che prima siano linearmente dipendenti e poi sono linearmente indipendenti, a me sembra restrittivo invece. O uno o l'altro. Non capisco questo passaggio che è fondamentale per proseguire con la dimostrazione che a quanto ho capito è importante per capire la dimensione delle basi di uno spazio vettoriale.

Spero in una risposta a questo mio dubbio

Ciao ccritne, e benvenuto sul Forum.

Ti sei bloccato non sulla matematica, ma sulla interpretazione del testo in italiano.

È come se il testo dicesse:

"Ci sono due casi possibili:

Caso possibile 1): \( \displaystyle w_1, ..., w_n \) sono linearmente dipendenti. Quindi lo sono anche \( \displaystyle w_1, ..., w_m \): in questo caso la dimostrazione è ovvia, e siccome è troppo scema ci concentramo sul possibile caso 2).

Caso possibile 2): \( \displaystyle w_1, ..., w_n \) sono linearmente indipendenti. Queto caso non è altrettanto banale, e qui facciamo la dimostrazione bla bla bla ..."

Concordo che forse qui dire 'non sarà restrittivo etc.' non è il massimo della chiarezza in italiano.

Grazie mille, mi aveva completamente mandato in tilt quella frase.

Figurati! Sernesi bocciato in italiano!

[...] Sernesi bocciato in italiano!

Appena lo vedrò, glielo riferirò!

Ah già, tu sei a Roma3!

Sgridalo da parte nostra, ma fagli anche tanti complimenti per i suoi libri (più per il Geometria 2 che per 1, a mio gusto, ma non glielo dire)