Sono dati $n+1$ nodi $0<=x_0<x_1<....<x_n<pi$ e corrsipondeti valori $y_0,...,y_n$. Mostrare che esiste un unico "polinomio coseno" $C(x)=\sum_{j=1}^na_jcos(jx)$ tale che $C(x_j)=y_j$ con $j=0,...,n$.
Allora io avevo pensato di fare così: imponiamo le condizioni su $x_j$:
$a_1cos(x_0)+...+a_ncos(nx_0)=y_0$
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$a_1cos(x_n)+...+a_ncos(nx_n)=y_n$
da cui otteniamo:
$((cos(x_0),...,cos(nx_0)),(.,,.),(.,,.),(.,,.),(cos(x_n),...,cos(nx_n)))((a_1),(.),(.),(.),(a_n))=((y_0),(.),(.),(.),(y_n))$
Chiamiamo $C$ la matrice $(n+1)xxn$, poi $a$ il vettore di dimensione $n$ e $y$ il vettore di dimensione $n+1$, si tratta quindi di un problema ai minimi quadrati, e sappiamo che esiste unica la soluzione se $C$ ha rango massimo. Ora siccome $x_0,...,x_n$ sono tutti distinti e stanno in $[0,pi)$ allora si ha che $cos(x_j)!=cos(x_i)$ per ogni $i,jin{0,...,n}$ diversi, e questo dovrebbe bastare a dire che $C$ ha rango massimo (le righe di $C$ sono linearmente indipendenti). Se vogliamo semplificarci le cose supponiamo che $C(x)=\sum_{j=0}^na_jcos(jx)$, si ottiene quindi:
$((1,cos(x_0),...,cos(nx_0)),(.,.,,.),(.,.,,.),(.,.,,.),(1,cos(x_n),...,cos(nx_n)))((a_0),(.),(.),(.),(a_n))=((y_0),(.),(.),(.),(y_n))$
in questo caso $C$ è una matrice quadrata $(n+1)xx(n+1)$ e ci basta mostrare che è invertibile. Ma prese due righe diverse $i$,$j$ entrambe hanno come prima componente $1$ e quindi l'unico modo per cui sarebbero linearmente dipendenti è che siano uguali (come vettori) ma questo implicherebbe che $cos(x_i)=cos(x_j)$, assurdo per quanto detto prima.
Volevo sapere se andasse bene, grazie