Domanda su spazio vettoriale

Salve,

vago cercando una risposta a una domanda sorta leggendo il mio testo.
Un sottospazio vettoriale W viene definito come spazio vettoriale di V se W è spazio vettoriale sul campo medesimo di V e con le medesime operazioni di V.
(in pratica devono valere le 8 proprietà sulle due operazioni definenti lo spazio vettoriale)

C'è poi un teorema di caratterizzazione che dice se W è sottoinsieme di V e valgono:
a) per ogni $v,w in W$ => $v+w in W$
b) per ogni $lambda in K$ e $v in W$ => $lambda v in W$
allora W è sottospazio vettoriale di V.
(questa è la chiusura per le due operazioni)

Si dimostra che valgono a e b se e solo W è sottospazio vettoriale.

Questa dimostrazione è semplice poiché
<=) se ipotizzo W sottospazio vettoriale allora valgono a e b poiché io ho per ipotesi che W è sottospazio e le operazioni sono definite e interne ad esso. Insomma W è chiuso rispetto a quelle operaizoni e prova quanto voluto.

=>) per svolgere questa implicazione basta mostrare che a e b implicano le 8 richieste di spazio vettoriale.
Per molte di quelle proprietà è ovvio poiché essendo V spazio vettoriale quelle proprietà valgono per tutti gli elementi di V e a maggior ragione per tutti gli elementi di W che è un suo sottoinsime apunto.
RImangono solo due proprietà non ovvie che sono I) l'esistenza del neutro II) l'esistenza dell'opposto.
Procediamo come segue:
I) la proprietà b vale per ogni $lambda$, scelgo lambda pari a zero e ho: $0*w=0$ quindi $0 in W$
II) utilizzo ancora b e mostro che per $lambda=-1$ ho per b che $-1*w=-w in W$

Problema:
nella dimostrazione NON uso mai la proprietà a) quindi in sostanza: posso dimostrare quindi che: vale "b" se e solo W è sottospazio vettoriale.

Eppure per verificare se è sottospazio vettoriale uso anche la proprietà a negli esercizi, ma per la dimostrazione è del tutto inutile a) non credo di afferrare quindi l'idea.

Aiuti?

La proprietà a), se vai a rivedere la definizione di spazio vettoriale, è essenziale ( e pure la b)).

Nella definizione c'è che le operazioni sono chiuse.

Definizione: Uno spazio vettoriale su un campo è un insieme $V$ su cui sono definite due operazioni: una somma che a due elementi di $V$ associa un elemento di $V$, e un prodotto per scalari, che a un elemento di $V$ associa un elemento di $V$,, soddisfacenti le seguenti proprietà:

1) ....
2).....
...bla bla bla bla, le otto proprietà.

Cioè, nella definizione di spazio vettoriale c'è la chiusura delle operazioni.

Devi verificare, per stabilire se $W \subseteq V$ è sottospazio vettoriale, quindi, che le due operazioni sono chiuse nel sottoinsieme $W$: se la somma (o il prodotto per uno scalare) 'scappa fuori' da $W$, per qualche vettore $v$ e $w$ di $W$, $W$ non è un sottospazio.
Quindi, per prima cosa va verificato che somma e prodotto per scalare restano in $W$.

Se le operazioni non sono chiuse in $W$, come fai a sapere che l'opposto e l'elemento neutro appartengono a $W$, come affermi nelle i) e II)? Quindi nella dimostrazione di I) e II) devi usare la chiusura delle operazioni, cioè a) e b).

Forse non ho ben spiegato quello che volevo dire, però in realtà ovviamente dico che mi serve la chiusura, però mi sembra di usare solo la chiusura per la moltiplicazione per uno scalare (riguarda la dimostrazione che ho scritto) io uso solo

b) per ogni λ∈K e v∈W => λv∈W

specializzando lambda come -1 e 0 (valori), quindi a me sembra che basti la chiusura di quella operazione per dimostrare esistenza del nullo e esistenza dell'opposto. La chiusura di lambda indica che il risultato è in W.

Certo, capisco che dici, ma a parte dimostrare che l'opposto e l'elemento neutro appartengono a $W$ e tutte le altre proprietà, è necessario che ci sia la chiusura delle operazioni di per sé, le operazioni devono essere chiuse se no non è rispettata la definizione di spazio vettoriale: La chiusura sta nella definizione: "la somma associa a due elementi di $V$ un elemento di $V$".

Se vedi che un sottoinsieme non è chiuso rispetto alla somma, non è un sottospazio, arrivederci a grazie, senza nemmeno stare a verificare le proprietà.

Quindi la a) comunque è necessaria, per stabilire che $W$ è sottopazio vettoriale, anche se non la usi in I) e II).

Ah caspita solo ora credo di aver capito il tuo suggerimento.
Io dicevo le 8 meno 2 proprietà sono ovvie perché valgono per V e poi mi dedicavo alle 2 proprietà dicendo beh quelle le risolvo scegliendo appositi lambda (di valori 1 e 0).
Ma non contavo che per esser W sottospazio vettoriale non deve solo rispettare quelle 8 ma primariamente come dici deve avere che le due operazioni siano funzioni che vadano nel codominio W stesso: WxW->W.

Era questo che volevi dirmi giusto?
Se è così ti ringrazio molto e credo proprio di aver capito

Mille grazie e buona notte.

Ultima modifica di mitcho il 04/07/2023, 11:08, modificato 1 volta in totale.

L'unione di due rette distinte passanti per $(0,0)\in RR^2$
soddisfa b) ma non a). E non e' un sottospazio di $RR^2$.

Ho visto che la mia risposta @gabriella è stata pubblicata solo dopo questo ultimo intervento però volevo comunque risponderti.

Infatti come dici tu non ho detto che sia sottospazio vettoriale, è ovvio non lo sia, ma quello che chiedevo era DOVE si usasse l'ipotesi a) nella dimostrazione. Non cercavo un controesempio perché già molti ne ho in mente.
Il mio dubbio era sulla dimostrazione...

Ah caspita solo ora credo di aver capito il tuo suggerimento.
Io dicevo le 8 meno 2 proprietà sono ovvie perché valgono per V e poi mi dedicavo alle 2 proprietà dicendo beh quelle le risolvo scegliendo appositi lambda (di valori 1 e 0).
Ma non contavo che per esser W sottospazio vettoriale non deve solo rispettare quelle 8 ma primariamente come dici deve avere che le due operazioni siano funzioni che vadano nel codominio W stesso: WxW->W.

Era questo che volevi dirmi giusto?
Se è così ti ringrazio molto e credo proprio di aver capito

Mille grazie e buona notte.

Sì sì, volevo dire questo! Che di fatto le proprietà sono dieci, non otto, c'è la chiusura delle due operazioni.

Figurati!

Molto gentile
Grazie di nuovo e buona continuazione!