Calcolo in coordinate polari posizione centro di massa di una semicirconferenza

Ciao a tutti,
devo calcolare la posizione del centro di massa di una semicirconferenza omogenea (densità costante in ogni punto).
Voglio fare il calcolo in coordinate polari.
Faccio il calcolo come illustrato nell'allegato.
Mi pare tutto giusto, ma ovviamente sbaglio qualcosa.
Infatti la posizione del baricentro viene correttamente a pi/2 (su asse di simmetria), ma il raggio del baricentro mi viene a 2/3 del raggio della Circonferenza, mentre i calcoli che trovo su internet (fatti in coordinate cartesiane) danno il baricentro a 4*Raggio Circonferenza/(3*pi)
E' evidente che sbaglio qualcosa.
Qualcuno mi può aiutare a capire cosa sbaglio?

Ciao Cristiano, benvenuto nel Forum.
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Qui il calcolo è fatto sia per una semicirconferenza che per un semicerchio in coordinate polari.

http://www-9.unipv.it/fis/fisica1_ca/Es ... ione11.pdf

per cui puoi confrontare il tuo procedimento. Se per il semicerchio non ti va bene il procedimento riportato, qui trovi il calcolo diretto.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Posto un sistema di coordinate con l'origine nel centro del semi cerchio, per motivi di simmetria $x_G=0$ Calcoliamo la $y_G$. Fissati una $r$ e una $theta$ troveremo una massa infinitesima di valore $rho*r*dr d theta$, essendo $rho = M/(pi/2*R^2)$ la densità superficiale di massa, posta ad una altezza $y=r sin(theta)$. Quindi

$y_G = (int_0^R int_0^(pi) r sin(theta) * rho*r *dr d theta)/M=$

$ = rho/M * (int_0^R r^2 dr)*(int_0^(pi) sin(theta) d theta)=$

$= rho/M*R^3/3 *2= (4R)/(3 pi)$