$\mathbb{R}_{Sf}\times \mathbb{R}_{Sf}$ è $T_2$ ma non è metrizzabile

[Isaac888]

Salve a tutti.

Preciso che $\mathbb{R}_{Sf}$ è la retta di Sorgenfrey. Il fatto che sia $T_2$, penso si possa far vedere così:

comunque si scelgano due punti $(x_1,y_1)$ ed $(x_2,y_2)$ distinti, posso scegliere $\epsilon:=\frac{|x_1-x_2|}{2}$ e $\delta:=frac{|y_1-y_2|}{2}$. Uno dei due fra $\epsilon$ e $\delta$ sarà sicuramente positivo. Suppongo senza perdita di generalità che sia $\epsilon >0$. Allora $U:=[x_1,\epsilon[ \times [y_1,c[$, (dove $c>y_1$) è un intorno di $(x_1,y_1)$ disgiunto da un qualsiasi intorno $V$ di $(x_2,y_2)$ della forma $[x_2,a[\times [y_2,b[$ con $a,b$ maggiori rispettivamente di $x_2$ ed $y_2$.

Per quanto riguarda il fatto che lo spazio sia non metrizzabile avevo pensato di controllare se per caso succedesse che le chiusure di intorni disgiunti, di punti distinti, si intersecassero sempre. Ma sembra che non sia così, anche perchè (sottoquestione) mi sembra che gli intervalli del tipo [a,b[ siano anche chiusi oltre che aperti.

Fatto sta che il libro mi lascia un suggerimento che non ho capito e che è questo:

Sia per assurdo $d$ una distanza su $\mathbb{R}_{Sf}\times \mathbb{R}_{Sf}$. $\forall t \in \mathbb{R}$ scegliamo un numero reale positivo $h(t)$ tale che:

$[t,t+h(t)[\times [-t,-t+h(t)[\subset mathcal{B}((t,-t),\frac { Inf{ d( (t, -t); (r, -r) ) | r\ne t} } {2})$

Si può dimostrare che $\forall \epsilon >0$ l'insieme ${t \in \mathbb{R}| h(t) > \epsilon}$ è numerabile.

Non capisco proprio l'idea che c'è dietro! Mi è proprio oscura...(che c'entra poi numerabile?)
Perchè dimostrare questa cosa?

Esiste un modo più elementare e meno cervellotico?

[Martino]

L'idea è osservare che uno spazio metrico separabile (cioè con un sottoinsieme denso numerabile) ammette una base numerabile (p.es. le palle aperte centrate nei punti del sottoinsieme denso numerabile e con raggio razionale). Se la retta di Sorgenfrey fosse uno spazio metrizzabile allora sarebbe separabile (contiene \( \displaystyle \mathbb{Q} \) ) e quindi ammetterebbe una base numerabile. Quindi per concludere che la retta di Sorgenfrey non è metrizzabile ti basta mostrare che non ammette basi numerabili. Prova per assurdo.

[j18eos]

Un altro modo: \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è denso in \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia di Sorgenfrey, poiché tale topologia è più fine della topologia naturale; in conseguenza \(\displaystyle\mathbb{Q}^2\) è denso nel piano di Sorgenfrey \(\displaystyle\mathbb{S}\).

Considera l'antidiagonale:
\[
\Delta^{-1}=\{(x,-x)\in\mathbb{S}\mid x\in\mathbb{R}\},
\]
questi è un insieme non numerabile, che eredita la topologia discreta per cui non è separabile; ma i sottoinsiemi di uno spazio metrico separabile sono separabili, quindi \(\displaystyle\mathbb{S}\) non è metrizzabile.

Torna tutto?

[Martino]

Sì Armando mi torna

[Isaac888]

Un altro modo: \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è denso in \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia di Sorgenfrey, poiché tale topologia è più fine della topologia naturale; in conseguenza \(\displaystyle\mathbb{Q}^2\) è denso nel piano di Sorgenfrey \(\displaystyle\mathbb{S}\).

Vediamo se ho capito. Qui mi stai facendo vedere che: siccome $\mathbb{S}:=\mathbb{R}_{Sf}\times \mathbb{R}_{Sf}$ ammette un sottoinsieme denso e numerabile, nella fattispecie $\mathbb{Q}\times \mathbb{Q}$, allora $\mathbb{S}$ è secondo numerabile, e poichè in uno spazio metrico la cosa coincide con l'essere $T_2$, allora, allora si ha che $\mathbb{S}$ è $T_2$.
Quindi questo è un modo alternativo a quello che ho usato io per far vedere la separabilità.

Considera l'antidiagonale:
\[ \Delta^{-1}=\{(x,-x)\in\mathbb{S}\mid x\in\mathbb{R}\}, \]
questi è un insieme non numerabile, che eredita la topologia discreta per cui non è separabile; ma i sottoinsiemi di uno spazio metrico separabile sono separabili, quindi \( \displaystyle\mathbb{S} \) non è metrizzabile.

Qui tu hai preso l'antidiagonale (WLOG), ma potevi prendere una qualsiasi retta per l'origine con coefficiente angolare negativo non parallela agli assi (giusto?).
Si può così osservare anche solo "graficamente" che l'intersezione di tutti gli intorni aperti di un punto di questa retta è il punto stesso. Ciò implica che i punti sono tutti aperti.
Quindi abbiamo un sottoinsieme $\Delta^{-1}$ di $\mathbb{S}$ che è non numerabile e come sottospazio ha la topologia discreta. Poichè ammette una base non numerabile di aperti (i suoi stessi singoletti), non può essere secondo numerabile e ciò coincide (nell'ipotesi di assurdo che $\mathbb{S}$ sia uno spazio metrico¹) con il fatto che non sia $T_2$, visto che anche $\Delta^{-1}$ è metrico come sottospazio.
Tuttavia, poichè i sottospazi di spazi separabili sono separabili, ciò è assurdo.

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Note

1. Assumere per assurdo che uno spazio sia metrizzabile è come assumere che sia metrico, poichè se è metrizzabile deve esistere una distanza su tale spazio, no? ↑

[Isaac888]

Se la retta di Sorgenfrey fosse uno spazio metrizzabile allora sarebbe separabile (contiene \( \displaystyle \mathbb{Q} \) ) e quindi ammetterebbe una base numerabile.

Credo di non aver capito qualche cosa allora. La retta di Sorgenfrey è $T_2$. L'ho dimostrato. Quello che sarebbe vero se fosse metrizzabile (e non altrimenti) è che avere un sottoinsieme denso e numerabile equivarrebbe al fatto di essere separabile.

[Isaac888]

Credo di aver capito, nella sostanza la vostra idea (aspetto solo conferma riguardo a ciò che ho scritto sopra). Tuttavia non riesco proprio a capire come dovrei procedere se decidessi di utilizzare il suggerimento che mi dà il libro.
A parte la notazione "pesante", non riesco proprio a vederne l'idea. Si serve esplicitamente di una distanza (che c'è per assurdo) in modo per me non chiaro. Tira fuori una palla con quell' "inf" ... Non credo di aver mai visto nella teoria sulle distanze niente di simile, se non per le distanze fra insiemi.

Ad una prima occhiata non mi sembra poi così "alternativo", rispetto all'idea del libro, il metodo usato da Armando. Mi sembra di capire che anche il libro usa l'antidiagonale. Il problema è il ruolo di quella distanza $d$, di quella palla e delle $h(t)$... Forse nel ragionamento di Armando la palla ed il resto vengono usati implicitamente?...
Mi viene questo dubbio perchè nel capitolo del libro in cui mi trovo io non si è ancora parlato di spazi primo\secondo numerabili.

Qualcuno può farmi vedere un "esempio pratico" (semplice, senza impazzirci troppo!) di utilizzo di quella bestia? Grazie mille.

[Martino]

Il suggerimento del tuo libro se è scritto così come l'hai riportato non ha molto senso... quell'inf potrebbe benissimo essere zero. Ma lascia perdere il libro, prova a pensare "fuori" dal libro. Rifiuta l'autorità! All'inizio è faticoso ma poi è una liberazione.

Mi sembra di vedere un po' di confusione coi concetti di cui parli.

allora $\mathbb{S}$ è secondo numerabile, e poichè in uno spazio metrico la cosa coincide con l'essere $T_2$, allora, allora si ha che $\mathbb{S}$ è $T_2$.

?? Uno spazio metrico è sempre T2. Non è che stai confondendo "separabile" con "T2"? Il piano di Sorgenfrey è T2 perché è un prodotto di spazi T2. E non è metrizzabile (cioè la sua topologia non è indotta da nessuna metrica). In altre parole non è metrico.

Si può così osservare anche solo "graficamente" che l'intersezione di tutti gli intorni aperti di un punto di questa retta è il punto stesso. Ciò implica che i punti sono tutti aperti.

L'intersezione arbitraria di aperti non è un aperto in generale. Non è questo il punto. Per mostrare che l'antidiagonale è discreta devi prendere un qualsiasi suo punto e trovare un aperto del piano di Sorgenfrey che interseca l'antidiagonale solo in quel punto.

Poichè ammette una base non numerabile di aperti (i suoi stessi singoletti), non può essere secondo numerabile e ciò coincide [...] con il fatto che non sia $T_2$, visto che anche $\Delta^{-1}$ è metrico come sottospazio.

?? Come ripeto ogni spazio metrico è T2. A scanso di equivoci per me T2 vuol dire Hausdorff. E poi, il fatto che uno spazio ammetta una base non numerabile non implica che non ne ammetta una numerabile (ovvio: è chiaro che tutti gli aperti della topologia formano sempre una base, e in generale son tanti eh ).

Tuttavia, poichè i sottospazi di spazi separabili sono separabili, ciò è assurdo.

No, i sottospazi di spazi metrici separabili sono separabili. Un sottospazio di uno spazio separabile non è separabile in generale. Un esempio è appunto l'antidiagonale di cui sopra (!)

Qualcuno può farmi vedere un "esempio pratico" (semplice, senza impazzirci troppo!) di utilizzo di quella bestia? Grazie mille.

Quale bestia?

[Isaac888]

Non è che stai confondendo "separabile" con "T2"?

A questo punto sono certo di aver confuso questi due concetti.
Può essere che abbia sentito da qualcuno che la proprietà $T_2$ si dica anche "separabilità" (nel senso che si riescono a "separare" due punti distinti con due intotrni disgiunti)? O me lo sono sognato?

Sono convinto che sostituendo dappertutto "separabile" a "$T_2$" in tutte le cose che ho scritto dovrebbe tornare tutto.
Credo di aver capito che qui la chiave dell'assurdo sia nella separabilità e non nell'essere $T_2$ (che non centra niente nella dimostrazione di Armando).

A parte questo naturalmente:

Si può così osservare anche solo "graficamente" che l'intersezione di tutti gli intorni aperti di un punto di questa retta è il punto stesso. Ciò implica che i punti sono tutti aperti.

Forse non ci vedevo più dalla fame! Quello che avevo veramente in mente è che $\forall (x,-x)\in \Delta^{-1}$ posso prendere un qualunque aperto del tipo $[x,a[\times [-x,b[$ con $a := x + \epsilon$ e $b:= - x + \delta$, $\epsilon$ e $\delta$ positivi. Siccome è una cosa intuitiva, ho detto "graficamente".

Per cui non volevo concludere che i punti erano aperti, ma solo che $\Delta^{-1}$ è discreto come sottospazio, ed in virtù di ciò, con la topologia indotta, allora tutti i suoi punti sono aperti e costituiscono una base (non numerabile) della topologia discreta su $\Delta^{-1}$.

Per quanto riguarda questo:

No, i sottospazi di spazi metrici separabili sono separabili

Hai ragione. Stavo seguendo passo passo quello che aveva detto Armando, ed in effetti non l'avevo ancora studiata bene questa proprietà, per cui è stata quasi un errore di copiatura.

Per quanto riguarda questo:

E poi, il fatto che uno spazio ammetta una base non numerabile non implica che non ne ammetta una numerabile

Io volevo dire che: $\Delta^{-1}$ è un insieme non numerabile dotato di topologia discreta, e per questo non è secondo numerabile (e poichè è un sottospazio di uno spazio metrico) allora non è nemmeno separabile. (visto che Wikipedia dice che separabile equivale a secondo numerabile se lo spazio è metrico (come è dato per ipotesi di assurdo¹)).

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Note

1. In realtà l'ipotesi di assurdo è che lo spazio sia metrizzabile. Penso che sia come dire metrico con una certa distanza. Per cui metrico ↑

[Martino]

Di solito uno usa le tre espressioni seguenti come equivalenti: T2, di Hausdorff, separato. Vuol dire che punti distinti appartengono a intorni disgiunti. Invece separabile vuol dire che c'è un sottoinsieme denso numerabile.

Ora quello che dici torna a parte il fatto che mi sembrava che tu avessi dedotto la non-secondo-numerabilità dal fatto che esiste una base non numerabile. L'esistenza di una base non numerabile non implica l'inesistenza di una base numerabile.