da Cannone Speciale » 07/05/2024, 16:10
Ciao, credo di essere riuscito a dimostrarlo, se qualcuno mi dicesse se è tutto corretto sarebbe meglio, perché mi è sembra che sia una dimostrazione troppo corta.
Devo dimostrare che ${x}'$ è chiuso $hArr A' $ è chiuso dove $A$ è un qualunque sottoinsieme e ' è l'operatore che fornisce l'insieme dei punti di accumulazione.
Chiaramente la seconda implica la prima.
Passo alla dimostrazione che ${x}'$ è chiuso $rArr A' $:
basta dimostrare che $(A')^c$ è aperto, sia quindi $ x in (A')^c$ allora $EE$ un aperto $U_x$, con $x in U_x$ t.c. $ (U_x \\ {x}) nn A = O/ $, definisco $V_x= ({x}')^c nn U_x $ che è intersezione di due aperti (il primo per ipotesi). Si nota che $({x}')^c$ contiene $x$ perché $x$ non è di accumulazione per l'insieme ${x}$ per definizione di punto di accumulazione.
Se esistesse $y in U_x$ che è anche di accumulazione per $A$ allora $y in {x}'$ altrimenti se $y$ non fosse di accumulazione per ${x}$ allora esisterebbe un aperto $W_y$ tale che $W_y nn {x} = O/$ e quindi $W_y nn U_x$ sarebbe un aperto che non interseca $A$ e $y$ non sarebbe di accumulazione per $A$.
Quindi $V_x$ è un aperto che contiene $x$ e non contiene punti di accumulazione di $A$ perché gli unici punti di accumulazione di $A$ che può contenere $U_x$ sono i punti di accumulazione di ${x}$ che però non sono contenuti in $({x}')^c$.
Quindi l'unione di questi aperti $V_x AA x in (A')^c$ è aperta quindi $A'$ è chiuso.
Ad Maiora!