Esistenza della base ortogonale, dimostrazione

Buonasera a tutti,
sono nuovo qui, perciò spero di non sbagliare niente nel post! Sto ripassando per l'esame di Geometria I, e mi sono imbattuto nella dimostrazione dell'esistenza della base ortogonale per una qualsiasi forma bilineare simmetrica di uno spazio vettoriale.

L'enunciato è \(\displaystyle \forall b \in \text{Bil}_\mathbb{R}(V); \exists \beta \text{ base ortogonale di } V \). Allora segue la dimostrazione.

Si inizia studiando due casi diversi.
Se \(\displaystyle \forall v \in V, b(v, v) = 0 \) allora \(\displaystyle b = O \), quindi ogni base è ortogonale. (Infatti, \(\displaystyle 0 = b(v + w, v + w) = b(v, v) + 2b(v, w) + b(w, w) = 2b(v, w) = 0 \implies \forall v,w \in V, \text{ si ha } b(v, w) = 0 \) ).

Allora, supponiamo che non valgano le ipotesi precedenti, dunque esiste almeno un vettore \(\displaystyle v_o \in V : b(v_0, v_0) \neq 0 \). Il professore ragiona per induzione. Consideriamo i due sottospazi \(\displaystyle W = L(v_0) = \text{Span}(v_0) \) e \(\displaystyle W^\perp \). Si vuole mostrare che \(\displaystyle V = W \oplus W^\perp \). Da qui, riporto quanto scrive il professore nelle dispense, e allego le mie domande alla fine. Inserisco un punto interrogativo in parentesi nei passaggi che mi confondono.

Allora, si scrive per un certo \(\displaystyle v\in V \) che \(\displaystyle v = av_0 + v'\). Noto subito che \(\displaystyle v_0 \perp _b v' \). Computando \(\displaystyle b(v, v_0) \) si ottiene \(\displaystyle b(v, v_0) = ab(v_0, v_0) + b(v', v_0) = ab(v_0, v_0) \) da cui \(\displaystyle a = \frac{b(v, v_0)}{b(v_0, v_0)} \). (?1)

Quindi, cito, \(\displaystyle v = av_0 + (v - av_0) \). Infatti, \(\displaystyle v - av_0 \in W^\perp \) per definizione di \(\displaystyle a \). Non riporto i calcoli. Allora ho proprio \(\displaystyle V = W + W^\perp \). (?2)

Si deve facilmente che \(\displaystyle W \cap W^\perp = \{O\} \), infatti, supponiamo \(\displaystyle v \in W \cap W^\perp \). Allora \(\displaystyle v = cv_0, c\in\mathbb{R} \), ma anche \(\displaystyle v \in W^\perp \); perciò \(\displaystyle 0 = b(v, v) = c^2b(v_0, v_0) = 0. b(v_0, v_0) \implies c^2 = 0 \implies c = 0 \implies v = O \).

Il caso base è terminato. Supponiamo che per un sottospazio \(\displaystyle U \leq V : \text{dim}U = n-1\) esista una base \(\displaystyle b \)-ortogonale. \(\displaystyle W^\perp \) soddisfa queste ipotesi (per Grassmann) e si ha, per ipotesi induttiva \(\displaystyle \eta = \{ v_1, ..., v_{n-1} \} \) base di \(\displaystyle W^\perp \). Basta dimostrare che \(\displaystyle \forall v_i \in \eta, v_0 \perp _b v_i \). Questo è il caso, per definizione. Dunque \(\displaystyle \beta = \{v_0\} \cup \eta \) forma una base ortogonale. \(\displaystyle \blacksquare \)

E ora le domande.

(?1) Suppongo che ogni vettore in \(\displaystyle v \) possa essere scritto come somma (non unica, a priori), di due vettori, uno \(\displaystyle av_0 \in W \) e l'altro \(\displaystyle v' \in V \). Questo mi torna, perché lo spazio vettoriale è un gruppo additivo rispetto alla somma, e in particolare è chiuso, dunque fissato un elemento se ne trova sempre uno tale che sommati diano il risultato voluto. Il problema è che suppongo già che \(\displaystyle v' \in W^\perp \), e questo è scorretto. Ha portato lui stesso un esempio in classe nel quale mostrava che \(\displaystyle W = W^\perp \neq V \), dunque neanche la somma funzionava.
Qualcuno ha capito il passaggio che ha fatto?

(?2) Dal punto precedente, ottengo la definizione di \(\displaystyle a \). Non capisco però come la nuova definizione di \(\displaystyle v \) sia motivata dal passaggio precedente Non si poteva direttamente imporre \(\displaystyle v = av_0 + (v - av_0), a = \frac{b(v, v_0)}{b(v_0, v_0)} \)? Questo non rompe nessuna ipotesi, e dimostra quanto voluto...

Inoltre, l'induzione mi sembra molto forzata. Non viene in realtà fatta sulla dimensione di \(\displaystyle V \); nel caso base non è \(\displaystyle V \) ad avere dimensione 1. Mi sembra piuttosto un algoritmo per costruire una base ortogonale, che termina perché \(\displaystyle V \) è finitamente generato, dunque è un buon metodo.

Qualcuno può darmi una mano? Grazie mille in anticipo, buona giornata a tutti!

Allora sì, è un po' difficile da leggere e comprendere.

L'induzione è sulla dimensione di $V$. Il caso base, dimensione 1, è immediato. Poi parte il passo induttivo, in cui si realizza che, se $b$ non è nulla, allora \(V = \left\langle v_0 \right\rangle \oplus v_0^\perp\) per qualche $v_0 \in V$.

Qui ci si chiede: preso un $v \in V$ qualsiasi riesco a trovare qualche $a \in K$ per cui \(v-av_0 \in W^\perp\)? La risposta è sì: imponendo \(0 = b(v-av_0, v_0)\) si riesce ad ottenere che basta definire \(a = \frac{b(v, v_0)}{b(v_0, v_0)}\). A questo punto \[v = \underbrace{av_0}_{\in W} + \underbrace{v-av_0}_{\in W^\perp}\]