Problema con uguaglianza di matrici

[compa90]

Salve
Siano $ A,B \in M_{n,n}(K)$ matrici, e due vettori $ u, v in V_n$, con $V_n$ spazio vettoriale sul campo $K$.
Se $u^tAv=u^tBv$ allora $A=B$.

Dalle proprietà del prodotto righe per colonne

$u^tAv=u^tBv => u^tAv-u^tBv = 0_K=>(u^tA-u^tB)v=0_K$

allora

$u^tA-u^tB=u^t(A-B) =>(u^t(A-B))v=0_K$

Dunque, quest'ultima è vera per ogni coppia di vettori $u,v in V_n$, come posso concludere che da questo comporta che $A-B=O => A=B$

Saluti.

[megas_archon]

Suppongo quello che vuoi dimostrare sia: se \(A,B\) sono tali che per ogni \(u,v\in V\) si abbia \(u^tAv=u^tBv\) allora \(A=B\)... questo si può infatti dimostrare scegliendo delle basi e usando la bilinearità (e non degenerazione) della mappa che manda \((x,y)\mapsto x^ty\), che è quello che hai fatto tu.

Se \(u^tAv=u^tBv\), in particolare deve essere vero che (nelle suddette basi) \(a_{ij} = b_{ij}\), perché scegliendo \(u,v\) elementi della base...

[compa90]

Ciao megas_archon, grazie per aver risposto !

la bilinearità (e non degenerazione) della mappa che manda \( (x,y)\mapsto x^ty \), che è quello che hai fatto tu.

Non ho capito scusami.
Non si potrebbe dimostrare con strumenti che riguardano il prodotto di matrici, ecc, ti chiedo questo, perché il prof a lezione ha fatto osservare che questa proprietà segue da qualche proprietà elementare del prodotto di matrici.

Se \( u^tAv=u^tBv \), in particolare deve essere vero che (nelle suddette basi) \( a_{ij} = b_{ij} \), perché scegliendo \( u,v \) elementi della base...

mi vuoi consigliare che se considero due vettori della base $ u_i, v_j$ allora
$u_i^tAv_j=u_i^t(Av_j)=u_i^tA^j=a_{i,j}$
$u_i^tBv_j=u_i^t(Bv_j)=u_i^tB^j=b_{i,j}$
allora $a_{i,j}=b_{i,j}$ , quindi, la tesi, mi vuoi consigliare questo ?

Ciao

[megas_archon]

Se \(e_i\) è il vettore che ha coordinata 1 al posto $i$ e zero altrove, \(e_i^tAe_j=a_{ij}\).

[compa90]

Si è vero che se $e_i$ è il vettore che ha coordinata 1 al posto $i$ e zero altrimenti, allora è vero \( e_i^tAe_j=a_{ij} \), però questo è vero quando lo spazio vettoriale $V_n=K^n$, invece, se $V_n=P_n$ cioè è lo spazio dei polinomi di grado al più $n$ questo è sempre vero ?

[megas_archon]

Ogni $K$-spazio vettoriale di dimensione finita è isomorfo a un \(K^n\).

[compa90]

Quindi, posso sempre dire che fissato un vettore $p in P_n$ e un suo riferimento $B$ posso trovare un vettore $e_i in K^n$ per cui $e_i=\delta_{i,j}$ ?

[megas_archon]

Fissa una base \(\mathcal B=\{v_1,\dots,v_n\}\), quali sono le coordinate di \(v_i\) in \(\mathcal B\)?