Teorema punti in posizione generale

[paolo1712]

Non mi è chiara l'ultima parte della dimostrazione di questo teorema:
Consideriamo $n+2$ punti $P_1,...,P_(n+2) \in P(V)$. Allora le seguenti proprietà sono equivalenti:
$a)$ $P_1,...,P_(n+2)$ sono in posizione generale
$b)$ $exists B={v_1,...,v_(n+1)}$ base di $V$ tale che $P_1=[v_1],...,P_(n+1)=[v_(n+1)]$ e $P_(n+2)=[v_1+...+v_(n+1)]$.
Inoltre tutte le basi di $V$ soddisfacenti il punto $b)$ sono tra loro proporzionali (quindi individuano le stesse coordinate omogenee).

Il dubbio riguarda l'ultima affermazione e viene risolta così:
Osserviamo che se $B'={u_1,...,u_(n+1)}$ soddisfa la $b)$ allora $forall i=1,...,n+1 " " exists mu_i \in K^"*" t.c. u_i=mu_iv_i$ e $P_(n+2)=[v_1+...+v_(n+1)]=[mu_1v_1+...+mu_(n+1)v_(n+1)]$ allora $mu_1v_1+...+mu_(n+1)v_(n+1)=lambda(v_1+...+v_(n+1)) rArr (mu_1-lambda)v_1+...+(mu_(n+1)-lambda)v_(n+1)=0 rArr mu_i-lambda=0 forall i=1...n+1 rArr mu_i=lambda$
cioè $B$ e $B'$ sono proporzionali.

Se ad esempio considero due basi di $RR^3$, $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$ con $P_4=[1,1,1]$ e la base $B'={(2,1,0),(0,1,2),(2,0,1)}$ con $P'_4=[4,2,3]$ ho che entrambe soddisfano $b)$ ma non è vero che esiste uno scalare $mu_1$ tale che $(2,1,0)=mu_1$*qualche vettore della base $B$ e non è nemmeno vero che $[1,1,1]=[4,2,3]$.
Ho sbagliato esempio o non ho capito quello che mi sta dicendo?

Vi ringrazio per l'aiuto!
(Se serve scrivo l'intera dimostrazione, mi sembrava superflua)

[j18eos]

Fissati \(\displaystyle n+2\) punti proiettivi in un \(\displaystyle\mathbb{P}(\mathbb{V})\) allora...

Se consideri due basi qualsiasi di \(\displaystyle\mathbb{V}\): col cavolo che trovi che queste determinino lo stesso riferimento proiettivo di \(\displaystyle\mathbb{P}(\mathbb{V})\)!

[paolo1712]

quindi è vera solo se prendo altri vettori appartenenti alle stesse classi di equivalenza definite dagli $n+2$ punti? Ma allora non è ovvia la proporzionalità

[j18eos]

Dipende dal come tu definisci i punti in posizione generale...

Puoi cortesemente scrivere qui la definizione che tu usi?

[paolo1712]

Certo!
I punti $P_1,...,P_t \in mathbb(P(V)$ ($dim(mathbb(P(V)))=n$) si dicono in posizione generale se:
1) $t<=n+1$ e $P_1,...,P_t$ sono proiettivamente indipendenti
oppure
2) $t>n+1$ e comunque scelti $n+1$ punti tra $P_1,..,P_t$, essi sono proiettivamente indipendenti.

[j18eos]

...allora: siano \(\displaystyle P_0=[v_0]_{\sim},\dotsc,P_n=[v_n]_{\sim},P_{n+1}=[v_{n+1}]_{\sim}\in\mathbb{P}^n\) punti in posizione generale, di conseguenza \(\displaystyle\left\{v_0,\dotsc,v_n\right\}\) è una base dello spazio vettoriale suggiacente a \(\displaystyle\mathbb{P}^n\). Per definizione di base
\[
\exists\lambda_0,\dotsc,\lambda_n\in\mathbb{K}\setminus\{0\}\mid v_{n+1}=\lambda_0v_0+\dotsc+\lambda_nv_n
\]
e \(\displaystyle P_0=[\lambda_0v_0]_{\sim},\dotsc,P_n=[\lambda_nv_n]_{\sim},P_{n+1}=[v_{n+1}]_{\sim}\in\mathbb{P}^n\). Quindi \(\displaystyle\left\{\lambda_0v_0,\dotsc,\lambda_nv_n\right\}\) è un'altra base (esercizio) soddisfacente la tesi del teorema.

[paolo1712]

Ok quindi la proporzionalità della base discerne dalla relazione di equivalenza su cui è costruito lo spazio proiettivo.
Ti ringrazio!

[j18eos]

Evidenzio che solo la base costruita soddisfa la tesi del teorema, mentre la base fissata all'inizio è libera da questo "vincolo"!