Problema su matrice antisimmetrica e triangolarizzabile

Salve a tutti,
Ho un quesito da porvi: data una matrice A di ordine n a coefficienti reali antisimmetrica (ie A=-A^T) e triangolarizzabile (ie esiste X invertibile tale che X^(-1)AX=T sia triangolare (superiore)). Mostrare che A=0.

Per svolgerlo ho preso delle matrici invertibili G1,..., Gk tali che XG1...Gk sia ortogonale (ho pensato che queste potessero esistere per l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt). Allora (XG1...Gk)^(-1)AXG1...Gk=Gk^(-1)...G1^(-1)TG1...Gk
A questo punto, dato che le matrici Gi sono triangolari superiori anche il membro di destra, T', lo è. Applicando la trasposta ad ambo i membri (e usando il fatto che A è antisimmetrica e XG1...Gk è ortogonale) ottengo -T'=(T')^T, da cui T=0. Allora anche A=0.

Non sono sicurissimo che possa dire con certezza che le G1,..., Gk esistano e che (soprattutto) Gk^(-1)...G1^(-1)TG1...Gk sia ancora triangolare.

Grazie per chiunque abbia voglia di rispondere.

Ciao, credo che le $G_i$ esistano (proprio per G.S.). Ci sono un paio di cose che vorrei osservare: cos'è una matrice $A$ di ordine $n$? Una matrice che verifica $A^n=Id$, oppure intendi una matrice quadrata di TAGLIA $n\times n$? Credo sia la seconda. Poi nella dimostrazione hai usato $G_i$ per $i$ che va da $1$ a $k$... non dovrebbe andare fino a $n$ (a meno che quando parlavi di ordine $n$ non intendessi davvero una matrice che verifica $A^n=Id$).
Poi cerca di usare il linguaggio matematico quando ti è possibile: non scrivere A^(-1), ma $A^{-1}$. Questo si chiama Latex, magari dacci un'occhiata

[...] intendi una matrice quadrata di TAGLIA $n\times n$ [...]

Normalmente si dice\scrive matrice quadrata di ordine \(n\) intendendo una matrice di taglia \(n\times n\) o tipo \([n,n]\).

@AhrmiStrong Gram-Schmidt, se non sbaglio, puoi usarlo ma devi essere un po' più preciso!