Salve a tutti,
Ho un quesito da porvi: data una matrice A di ordine n a coefficienti reali antisimmetrica (ie A=-A^T) e triangolarizzabile (ie esiste X invertibile tale che X^(-1)AX=T sia triangolare (superiore)). Mostrare che A=0.
Per svolgerlo ho preso delle matrici invertibili G1,..., Gk tali che XG1...Gk sia ortogonale (ho pensato che queste potessero esistere per l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt). Allora (XG1...Gk)^(-1)AXG1...Gk=Gk^(-1)...G1^(-1)TG1...Gk
A questo punto, dato che le matrici Gi sono triangolari superiori anche il membro di destra, T', lo è. Applicando la trasposta ad ambo i membri (e usando il fatto che A è antisimmetrica e XG1...Gk è ortogonale) ottengo -T'=(T')^T, da cui T=0. Allora anche A=0.
Non sono sicurissimo che possa dire con certezza che le G1,..., Gk esistano e che (soprattutto) Gk^(-1)...G1^(-1)TG1...Gk sia ancora triangolare.
Grazie per chiunque abbia voglia di rispondere.