Due funzioni entrambe definite in un sottoinsueme A di R hanno derivate uguali in ogni punto di A.
a) \( \displaystyle \exists c \in \mathbb{R} : f(x) = g(x) + c \quad \forall x \in \mathbb{R} \) ?
b) Supponendo che \( \displaystyle A = ]0,1[ \cup ]1,2[ \cup ]2,3[ \) è possibile definire f e g nei punti di ascissa 0, 1, 2, 3 in modo tale che f-g è integrabile secondo Riemann in [0,3]?
Per cominciare a rispondere alla prima domanda, ho notato che se hanno derivate uguali in ogni punto di A, le due funzioni hanno i limiti del rapporto incrementale uguale e, quindi, \( \displaystyle f'(x) - g'(x) = 0 \) (ma non so se questo mi possa essere utile).
Poi ho pensato che le funzioni saranno anche continue in tutto il loro insieme di definizione e, di conseguenza, continue in ogni intervallo contenuto in A. Quindi sono integrabili secono Riemann.
Da qua in poi non ho la più pallida idea di come continuare e, soprattutto, se tutto quello che ho detto sia giusto e se mi possa servire...
Consigli?