da Thiezar » 03/07/2011, 16:41
Visto che sei in estrema difficoltà ti spiego bene come risolvere l'esercizio. Quella storia del gradiente perpendicolare al dominio è vera ma (almeno per me) difficile da verificare se il gradiente e il dominio non si presentano in forme semplici.
tenendo presente che abbiamo stabilito che il triangolo ha vertici $ O=(0,0) $ $ P=(2,2) $ $ Q=(2,-2) $, e che i punti in cui il gradiente si annulla sono
$ A=(0,0) $ $ B=(4/3,0) $ $ C=(2,2) $ $ D=(2,-2) $
possiamo subito notare che i punti A B e D corrispondono esattamente ai vertici del triangolo che come sappiamo sono sempre punti stazionari. Per la cronaca in questo caso la funzione $ f(x,y) $ in questi 3 punti vale 0.
Il punto B è interno al dominio (infatti $4/3<2$ quindi questo punto si trova praticamente al centro del triangolo) ela funzione nel punto B vale $ -32/27 $.
Altri punti critici sono da ricercare sulla frontiera del dominio.
Osserviamo bene la funzione: $ f(x,y)=(x^2-y^2)(x-2)$
- prendiamo in considerazione il lato del triangolo tra P e Q e notiamo che x vale sempre 2. Se x vale sempre 2 il fattore destro della funzione $ (x-2) $ diventa 0 annullando la funzione, quindi su tutto questo lato la funzione vale 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra P e O. Questo è un segmento inclinato di 45°. Per ottenere questa angolazione i valori di x e y devono essere sempre uguali quindi $y=x$. Se questi valori sono sempre uguali la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $ darà come risultato sempre 0 annullando tutta la funzione. Quindi anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra Q e O. Questo segmento è come quello di prima ma specchiato. Significa che in questo caso $ y=-x $. Ma anche in questo caso la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $darà come risultato sempre 0 a causa dell'elevazione al quadrato. Anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
Possiamo concludere che su tutta la frontiera compresi i vertici la funzione vale $ 0 $ mentre nel punto B vale $ -32/27 $. Beh, è facile vedere che questi due valori sono rispettivamente il MASSIMO e il MINIMO.