Messaggioda matematico91 » 02/07/2011, 15:48

bene. quindi se segui i consigli di Thiezar arrivi facilmente alla conclusione.
nota però che anche il punto B allora è interno al dominio, quindi devi considerare tutti i punti che hai ricavato "annullando" il gradiente, tutti i punti di vertice e i punti stazionari sulle tre rette. confronta questi punti e otterrai delle risposte.
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Messaggioda enzo818 » 02/07/2011, 15:59

scusa non ho capito...

il valore della funzione nel punto B l'ho calcolato ed è $-32/27$ .

nei 3 vertici il valore della funzione è 0.

Thiezar parlava di vedere se il gradiente era perpendicolare al dominio...che significa? come si fa?
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Messaggioda enzo818 » 03/07/2011, 15:26

raga qualcuno mi puo' aiutare in quest'ultimo passo?? grazie
enzo818
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Messaggioda Thiezar » 03/07/2011, 16:41

Visto che sei in estrema difficoltà ti spiego bene come risolvere l'esercizio. Quella storia del gradiente perpendicolare al dominio è vera ma (almeno per me) difficile da verificare se il gradiente e il dominio non si presentano in forme semplici.

tenendo presente che abbiamo stabilito che il triangolo ha vertici $ O=(0,0) $ $ P=(2,2) $ $ Q=(2,-2) $, e che i punti in cui il gradiente si annulla sono
$ A=(0,0) $ $ B=(4/3,0) $ $ C=(2,2) $ $ D=(2,-2) $
possiamo subito notare che i punti A B e D corrispondono esattamente ai vertici del triangolo che come sappiamo sono sempre punti stazionari. Per la cronaca in questo caso la funzione $ f(x,y) $ in questi 3 punti vale 0.
Il punto B è interno al dominio (infatti $4/3<2$ quindi questo punto si trova praticamente al centro del triangolo) ela funzione nel punto B vale $ -32/27 $.
Altri punti critici sono da ricercare sulla frontiera del dominio.
Osserviamo bene la funzione: $ f(x,y)=(x^2-y^2)(x-2)$
- prendiamo in considerazione il lato del triangolo tra P e Q e notiamo che x vale sempre 2. Se x vale sempre 2 il fattore destro della funzione $ (x-2) $ diventa 0 annullando la funzione, quindi su tutto questo lato la funzione vale 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra P e O. Questo è un segmento inclinato di 45°. Per ottenere questa angolazione i valori di x e y devono essere sempre uguali quindi $y=x$. Se questi valori sono sempre uguali la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $ darà come risultato sempre 0 annullando tutta la funzione. Quindi anche su questo lato la funzione vale sempre 0.
- prendiamo in considerazione il lato tra Q e O. Questo segmento è come quello di prima ma specchiato. Significa che in questo caso $ y=-x $. Ma anche in questo caso la prima parte della funzione $ (x^2-y^2) $darà come risultato sempre 0 a causa dell'elevazione al quadrato. Anche su questo lato la funzione vale sempre 0.

Possiamo concludere che su tutta la frontiera compresi i vertici la funzione vale $ 0 $ mentre nel punto B vale $ -32/27 $. Beh, è facile vedere che questi due valori sono rispettivamente il MASSIMO e il MINIMO.
Thiezar
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Messaggioda enzo818 » 03/07/2011, 16:44

chiarissimo!!!! grazie mille ;)
enzo818
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