Funzione

[Marco21]

Ho un problema nello studio della seguente funzione:

X^3/1-X^2

Quando vado a fare lo studio del segno della funzione risolvendola come una normale disequazione frazionaria(N:X^3>0 E D: 1-X^2>0) per togliere quel meno davanti a X^2 cambio i segni e mi viene X^2-1<0.
Analogamente faccio la stessa cosa quando vado a studiare la derivata prima e seconda della funzione.

Mi accorgo però che al termine dell'esercizio il grafico della funzione non combacia con quello del testo. rivolgendo il calcolo di tutto lo studio della funzione senza cambiare segno invece il grafico viene correttamente.

Cioè questo cambiamento comporta un'alterazione del campo di variabilità della funzione...Come mai?

[Ahimsa]

Ciao Marco21, non riporti i tuoi conti e da come hai spiegato la cosa sembrerebbe che il tuo sistema di risoluzione sia giusto. L'unica cosa che forse ha dimenticato (non so se non l'hai scritta qui sul forum o non l'hai proprio fatta..) é che in una disequazione frazionaria puoi ottenere segno positivo anche se numeratore e denominatore sono entrambi negativi. Hai tenuto conto di questo fatto? Magari così le cose tornano...
Ciao
Ahimsa

[Marco21]

Ho cambiato segno al denominatore ma mi sono scordato di farlo anche al denominatore praticamente ho imposto:

X^3/1-X^2>0

Dopodiche come di consuetudine:

N: X^3>0

D: 1-X^2>0

Ho cambiato segno al denominatore ottenendo:

X^2-1<0

Dopodiche ho unito le soluzioni grafiche di entrambe e mi sono andato a vedere gli intervalli in cui la funzione è positiva e negativa.

Forse sarebbe stato meglio risistemare la frazione in questo modo e vedere cosa succede...

-(-x^3)/-(x^2-1)>0

-x^3/x^2-1>0.

Dopo me la ristudio;-)

[lupo grigio]

caro Marco
secondo me hai impostato il problema in modo inutilmente complicato e da qui sono venute le tue difficoltà.

Se esaminiamo fa funzione da te segnalata...

y= x^3/1-x^2 [1]

si nota innanzitutto che essa è una funzione dispari, ossia è y(x)=-y(-x). Di ciò è facile rendersi conto in quanto il numeratore è dispari e il denominatore pari. Da ciò deriva che possiamo limitarci allo studio della funzione per x>0 in quanto per x<0 è la stessa con il segno cambiato.
Proseguendo nell'esame si vede che, essendo per ogni x>0 il numeratore anch'esso >0, il segno della funzione coincide col segno del denominatore e pertanto sarà...

y>0 per 0<x<1

y<0 per x>1 [2]

La funzione ha poi una singolarità per x=1 ed è...

y -> +00 per x -> 1-

y -> -00 per x -> 1+ [3]

Da ultimo resta da valutare il comportamento della funzione per x -> +00. Dal momento che per valori 'grandi' di x il termine 1 nel denominatore diviene 'trascurabile', si conclude facilmente che per x -> +00 y tende asintoticamente alla retta y=-x.

cordiali saluti!...

lupo grigio

[Marco21]

Hai ragione Lupo grazie;)