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Camillo ha scritto:C)Esempio commentato
Studiare la funzione integrale: $F(x)=int _2^x \frac{e^t*dt}{t^(1/3)(t+1)}$
a) Studio di $f(t) = \frac{e^t}{t^(1/3)(t+1)}$
I risultati principali sono :
-Dominio : $(-oo,-1)U(-1,0)U(0,+oo)$ .
-Limiti
$lim_(t rarr +oo) f(t) = +oo$ ;$lim_(t rarr -oo) f(t) = 0^(+) $
$lim_(t rarr 0^(+)) f(t) =+oo$ , $lim_(t rarr 0^(-)) f(t)=-oo$
$t=0 $ è asintoto verticale
$lim_(t rarr -1^(+)) f(t) = -oo$ ; $lim_(t rarr -1^(-)) f(t) = +oo$
$t=-1 $ è asintoto verticale.
-Inoltre $f(t) > 0 $ per $t>0 $ e anche per $ t < -1$ ; $f(t)<0 $ per $-1<t<0$ .
-Infine $f(t)$ ha max relativo per $ x= alpha $ con $ -1<alpha <0$ e punto di minimo relativo per $ x=beta $
con $beta >0$.
b) Studio di $ F(x)$
- $F(2)=0 $
-segno di $F(x)$ : guardando il diagramma di $f(t)$ e ricordando che $F(x)$ rappresenta l'area(con segno..) sottesa dalla curva e dall'asse delle ascisse, da $t=2 $ fino a $t=x$ si ottiene :
*per $x>2$ $F(x)> 0 $
*per $ 0<x<2 $ $F(x) <0 $ in quanto $int_2^xf(t)dt = -int_x^2 f(t)dt$
*per $ -1<x<0 $ non è facile determinare il segno di $F(x)$ perchè non si sa se le aree sottese positive e negative si compensino o no e dove eventualmente questo accada.
Dall'esame però della $F'(x)$ si noterà che $F(x)$ in $(-1,0)$ è decrescente ; dovendo decrescere da $+oo$ fino a un valore negativo per $x=0$ ( vedi più avanti la spiegazione), la funzione taglierà l'asse delle ascisse in un punto compreso tra $-1 $ e $0$.
-Inoltre $lim_(x rarr +oo)F(x)=lim_(x rarr+oo)int_2^x e^t*dt/(t^(1/3)*(t+1))$ e questo integrale diverge a $+oo$per i
criteri di convergenza degli integrali impropri.
-Esaminiamo ora il comportamento di $F(x)$ nell'intorno di $x=0$.
$F(0^(+))=lim_(x rarr 0^(+))int_2^xf(t)dt$ =$ -int_x^2f(t)dt$ che converge a un valore negativo, diciamo $gamma$ .
$F(0^(-))=lim_(x rarr 0^(-))int_2^xf(t)dt $=$-int_x^2f(t)dt $ che pure converge e allo stesso valore $gamma$.
Quindi $F(0)$ è definita e di valore negativo pari a $gamma$.
-Consideriamo ora $F(x)$ nell'intorno destro di $-1$; sarà
$F(-1^(+))=lim_( x rarr (-1)^(+))int_2^x f(t)dt =-int_x^2f(t)dt$ che diverge a $+oo$.
Pertanto $F(x)$ non è definita per valori $x < -1 $ ed ha dominio dato da $(-1,+oo)$.
-Derivata : $F'(x)=\frac{e^x}{x^(1/3)*(x+1)}$. Si deduce quindi che :
$F(x)$ è crescente per $x >0$ e decrescente per $-1<x<0$ .
-In $x=0$ si ha un punto di cuspide in quanto $lim_(x rarr0^(+-))F'(x)=+-oo$.
Si può poi anche calcolare $F''(x)$ e determinare così gli intervalli di concavità e convessità della funzione nonchè i due punti di flesso compresi uno in $(-1,0)$ e l'altro in $(0,2)$.
SEGUE
Camillo ha scritto:$int_a^b f(t)dt = int_a^c f(t)dt +int_c^b f(t)dt $ con $ a<b<c$.
kobeilprofeta ha scritto:...
A me risulta che f(t) sia asintotico a 1t per t→0 e che quundi 0∉DF
dove sbaglio?
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