2 messaggi
• Pagina 1 di 1
Ancora sugli integrali
da Andy » 29/01/2003, 18:14
Salve ho delle difficoltà riguardanti gli integrali del tipo 1/(x^2-1)^n; ad es. avendo l'integrale di 1/(x^2-2)^4, se non erro dovrei prima di tutto mettere in evidenza il 2^4 e portarlo fuori dall'integrale a questo punto ho 1/((x/rad2)^2-1)^4dx ora moltiplico e divido la x per rad2 in modo da poter porre t=x/rad2 quindi si ha rad2/2^4 * integrale di 1/(t^2-1)^4dt, a questo punto non ho capito come continuare
- Andy
- Starting Member
- Messaggio: 3 di 6
- Iscritto il: 28/01/2003, 18:59
da lupo grigio » 31/01/2003, 11:59
cara Andy
il calcolo dell’integrale in questione è piuttosto laborioso, ma non estremamente difficile. Partiamo innanzitutto dalla ovvia identità :
(t^2-1)/(t^2-1)^n = t^2/(t^2-1)^n – 1/(t^2-1)^n = 1/(t^2-1)^(n-1) [1]
da cui
1/(t^2-1)^n = t^2/(t^2-1)^n –1/(t^2-1)^(n-1) [2]
Integriamo ora i due membri della [2], tenendo in conto che il termine t^2/(t^2-1)^n è risolvibile ricorrendo all’integrazione per parti, ed otteniamo:
Int dt/[(t^2-1)^n] = -t/[2*(n-1)*(t^2-1)^(n-1)] +1/[2*(n-1)]*Int dt/(t^2-1)^(n-1) –Int dt/[(t^2-1)^(n-1)] =
= -t/[2*(n-1)*(t^2-1)^(n-1)] –(2*n-3)/[2*(n-1)] * Int dt/[(t^2-1)^(n-1)] [3]
Questa formula ti consente di trasformare l’integrale dell’inverso di (t^2-1) elevato alla n nella somma di due termini di cui quello sotto il segno di integrale contiene l’inverso di (t^2-1) elevato alla n-1. Questo a sua volta può essere scomposto, utilizzando sempre la [3] naturalmente, in due termini di cui quello sotto il segno di integrale contiene l’inverso di (t^2-1) elevato alla n-2. Si utilizza sistematicamente la [3] fino a che il termine sotto il segno di integrale contiene l’inverso di (t^2-1). Quest’ultimo integrale è facilmente risolvibile e vale:
Int dt/(t^2-1) = ½ * ln [(x-1)/(x+1)] [4]
Tieni presente che questa soluzione è valida per t^2> 1. Per t^2<1 si sostituisce (t^2-1) con (1-t^2) e si ottiene la formula risolvente in maniera analoga a quella vista ora. Ovviamente all’integrale indefinito così calcolato occorre aggiungere una costante c arbitraria.
La soluzione per n relativamente elevato [>2] richiede naturalmente molta pazienza ed attenzione, qualità che sono sicuro non ti fanno difetto…
cordiali saluti!…
lupo grigio
il calcolo dell’integrale in questione è piuttosto laborioso, ma non estremamente difficile. Partiamo innanzitutto dalla ovvia identità :
(t^2-1)/(t^2-1)^n = t^2/(t^2-1)^n – 1/(t^2-1)^n = 1/(t^2-1)^(n-1) [1]
da cui
1/(t^2-1)^n = t^2/(t^2-1)^n –1/(t^2-1)^(n-1) [2]
Integriamo ora i due membri della [2], tenendo in conto che il termine t^2/(t^2-1)^n è risolvibile ricorrendo all’integrazione per parti, ed otteniamo:
Int dt/[(t^2-1)^n] = -t/[2*(n-1)*(t^2-1)^(n-1)] +1/[2*(n-1)]*Int dt/(t^2-1)^(n-1) –Int dt/[(t^2-1)^(n-1)] =
= -t/[2*(n-1)*(t^2-1)^(n-1)] –(2*n-3)/[2*(n-1)] * Int dt/[(t^2-1)^(n-1)] [3]
Questa formula ti consente di trasformare l’integrale dell’inverso di (t^2-1) elevato alla n nella somma di due termini di cui quello sotto il segno di integrale contiene l’inverso di (t^2-1) elevato alla n-1. Questo a sua volta può essere scomposto, utilizzando sempre la [3] naturalmente, in due termini di cui quello sotto il segno di integrale contiene l’inverso di (t^2-1) elevato alla n-2. Si utilizza sistematicamente la [3] fino a che il termine sotto il segno di integrale contiene l’inverso di (t^2-1). Quest’ultimo integrale è facilmente risolvibile e vale:
Int dt/(t^2-1) = ½ * ln [(x-1)/(x+1)] [4]
Tieni presente che questa soluzione è valida per t^2> 1. Per t^2<1 si sostituisce (t^2-1) con (1-t^2) e si ottiene la formula risolvente in maniera analoga a quella vista ora. Ovviamente all’integrale indefinito così calcolato occorre aggiungere una costante c arbitraria.
La soluzione per n relativamente elevato [>2] richiede naturalmente molta pazienza ed attenzione, qualità che sono sicuro non ti fanno difetto…
cordiali saluti!…
lupo grigio
- lupo grigio
2 messaggi
• Pagina 1 di 1
Torna a Analisi matematica di base
Chi c’è in linea
Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite