Equazione con i numeri complessi

[Acessandro]

Qualcuno può aiutarmi a risolverla?

iz^3 = z*

(con l'asterisco mi riferisco a z coniugato).

[Quinzio]

Devi passare alla rappresentazione modulo e fase.

$i z^3 = z^\star$

$\rho^3 e^ {i(3\theta + \pi/2)} = \rho e^(-i\theta)$

da cui

$\rho ^2 = 1$

$\rho = 1$
(la soluzione -1 verra' compresa nell'angolo)

$3\theta + \pi/2 = -\theta + 2k\pi$

$4\theta = - \pi/2 + 2k\pi$

$\theta = -\pi/8 + k/2\pi$

[pilloeffe]

Ciao Acessandro,

Benvenuto sul forum!

Nella soluzione che ti ha già fornito Quinzio manca l'unica soluzione reale dell'equazione proposta $iz^3 = \bar z $, che è $z = 0 $ (si verifica immediatamente).

Le altre $4$ soluzioni dell'equazione proposta sono date da $z_k = e^{i(- \pi/8 + (k\pi)/2)} $, $k = 0, 1, 2, 3 $ che sono i vertici di un quadrato avente semidiagonale $\rho = 1$.

[Acessandro]

Grazie mille

[gugo82]

Un altro modo.

Ovviamente, $z=0$ è soluzione; quindi basta cercare le soluzioni non nulle.
Passando subito ai moduli, trovi che il modulo soddisfa:

$|z|^3 = |z^*| \ =>\ |z|^3 = |z| \ => \ |z| = 1$.

Invece, moltiplicando per $z$ e dividendo per $i$ trovi:

$z^4 = -i |z|^2 \ =>\ z^4 = -i $,

quindi $z^4$ è immaginario puro con coefficiente negativo; dunque, $z$ ha argomento $-pi/8$ più multipli di $(2pi)/4 = pi/2$.
Le soluzioni non nulle sono: $z = e^(-pi/8 + k pi/2)$ con $k=0, 1,2,3$.

[Acessandro]

Grazie mille anche a te