Minimi, massimi e flessi

[Quasar3.14]

Buonasera a tutti,

ho iniziato lo studio delle derivate e dello studio di funzione e ho iniziato a svolgere i primi esercizi.
Ho diversi dubbi a proposito e spero che mi possiate aiutare a dissolverli.

L'esercizio richiede di trovare i punti stazionari (minimi, massimi e flessi relativi e/o assoluti) della seguente funzione

$f(x) = xe^(1/lnx)$

Sono i primi esercizi quindi perdonate qualche mia ingenuità.

Tale funzione ha il seguente dominio $D= {x in RR: 0<x<1 vv x>1}$

Per calcolare i punti stazionari calcolo la derivata e la pongo uguale a zero.


$f(x) = xe^(1/lnx)$

$D'f(x) = p'(x)q(x)+p(x)q'(x)$

In questo caso la $q(x) = e^(1/lnx)$ quindi oltre alle regole di derivazione delle funzioni composte devo applicare poi anche quelle relative al reciproco di una funzione.

Se i calcoli sono corretti ottengo che la derivata prima di $f(x) = xe^(1/lnx)$ è $f'(x)= e^(1/lnx) - e^(1/lnx)/ln^2(x)$

Il dominio della derivata lo calcolo come se fosse una funzione "normale"?

In tal caso il dominio di $f'(x)= e^(1/lnx) - e^(1/lnx)/ln^2(x)$ è $x>0$ e $x!=1$.


$f'(x)= e^(1/lnx) - e^(1/lnx)/ln^2(x)$

$(e^(1/lnx)(lnx-1)(lnx+1))/(ln^2x)=0$

$e^(1/lnx)=0$non ha soluzioni.

Da $(lnx-1)(lnx+1)$ ottengo $x=e$ $ x=1/e$ che rappresentano i punti stazionari della funzione.

Procedo allo studio del segno della derivata prima ponendola $>=0$

$(e^(1/lnx)(lnx-1)(lnx+1))/(ln^2(x))>=0$ da cui concludo che $x=e$ $ x=1/e$ sono minimi e massimi relativi della funzione.

Per determinare i punti di flesso devo trovare la derivata seconda.
Ora non so se sto procedendo bene in quanto applicando le varie regole di derivazione ottengo

$- e^(1/lnx)/(xln^2(x)) - (- e^(1/lnx)/(xln^2(x)) * ln^2x - e^(1/lnx)*(2lnx)/x)/ln^4x$

Per trovare i punti di flesso devo dapprima porre la derivata seconda $=0$ e dopodichè studio il segno della derivata seconda ponendola $>=0$, è corretto?

Le mie perplessità sono le seguenti, ciò che trovo sono i minimi, massimi e flessi relativi, giusto?
Per trovare minimi e massimi assoluti come dovrei procedere?

Grazie a tutti per l'aiuto

[pilloeffe]

Ciao Quasar3.14,

Sì, la funzione $ f(x) = x e^(1/lnx) $ proposta ha dominio naturale $D = {x \in \RR: 0 < x < 1 \vv x > 1} $, codominio $C = {y \in \RR : 0 < y \le 1/e^2 \vv y \ge e^2}$, un minimo nel punto $L(e, e^2) $ ed un massimo nel punto $M(1/e, 1/e^2) $

Poi $f(x) > 0 $ per ogni $x \in D $ e si ha:

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 0 $

$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty $

A meno che tu non sia obbligato a farlo, sconsiglierei lo studio del segno della derivata seconda: non ho controllato la correttezza dei conti, ma mi pare un po' pesante...

[Quasar3.14]

Grazie pilloeffe!

Ho però dei dubbi.

Il testo dell'esercizio è quello postato nel primo post, ossia individuare minimi, massimi, flessi relativi e/o assoluti.
In questo caso per trovare i punti di minimo e massimo relativi mi è chiaro come fare, derivata prima e poi studio del segno.

Non mi è chiaro se però cosi trovo sempre i min e max relativi e nel caso come posso fare per trovare gli assoluti se esistono?

L'esercizio richiede anche di trovare i punti di flesso.
In tal caso devo procedere necessariamente con la derivata seconda e poi risolvere l'equazione?

Come hai notato con la derivata seconda mi vado ad impelagare in uno studio del segno alquanto antipatico, in questi casi come dovrei affrontare l'esercizio per risolverlo?

Hai svolto i limiti degli estremi del dominio unicamente per trovare eventuali asintoti della funzione, è corretto?

[pilloeffe]

Come hai notato con la derivata seconda mi vado ad impelagare in uno studio del segno alquanto antipatico

In realtà pensavo peggio, dopo qualche rielaborazione la derivata seconda mi risulta essere la seguente:

$ f''(x) = (e^(1/ln(x)) (1 + 2 ln(x) - ln^2(x)))/(x ln^4(x)) $

La disequazione $f''(x) \ge 0 $ cioè

$ (e^(1/ln(x)) (1 + 2 ln(x) - ln^2(x)))/(x ln^4(x)) \ge 0 $

porge la soluzione $ e^{1 - \sqrt2} \le x < 1 \vv 1 < x \le e^{1 + \sqrt2} $

Un estremante (massimo o minimo) assoluto è anche relativo, ma il viceversa in generale non è vero: la funzione proposta non ha massimi e minimi assoluti.

[gugo82]

Osserva che la derivata prima è una funzione composta da:

$g(y) = (1 - y^2) e^y$ ed $y(x) = 1/(ln x)$

quindi:

$f''(x) = g'(y(x))\ y'(x)$.

Ora, $y'(x) < 0$ ovunque nell'insieme di definizione, quindi il segno dipende solo dall'altro fattore del prodotto. Dato che $g'(y) = (1-2y-y^2) e^y < 0$ se e solo se $y^2 + 2y - 1 > 0$ ossia solo se $y < -1-sqrt(2) vv y > -1 + sqrt(2)$, hai:

$f''(x) > 0\ <=>\ 1/(ln x) < -1-sqrt(2) \ vv \ 1/(ln x) > -1 + sqrt(2)$

che dà le soluzioni trovate sopra da pilloeffe.

[Quasar3.14]

Grazie ragazzi come sempre per le vostre risposte.

Mi potreste togliere un dubbio, in questo caso sia i flessi che i punti di massimo e minimo non sono assoluti in quanto il dominio della funzione è aperto, è corretto?

[pilloeffe]

Per i massimi ed i minimi ti ho già risposto; il Teorema di Weierstrass al quale forse ti riferisci dice che se $[a, b] \subset \RR $ è un intervallo chiuso e limitato non vuoto e $f : [a, b] \rightarrow \RR $ è una funzione continua, allora $f(x)$ ammette un punto di massimo assoluto e un punto di minimo assoluto nell'intervallo $[a, b]$
Non è però questo il nostro caso. Tanto per fare un esempio, una parabola con la concavità verso il basso come $y = f(x) = - x^2 + 2x $ definita sull'intervallo aperto $(- 1, 3) $ ha un massimo relativo $M(1, 1) $ che è anche massimo assoluto.

Quanto a "flesso assoluto" onestamente non so cosa possa significare...

[Quasar3.14]

Grazie pilloeffe, adesso è chiaro!