limite di

[Sam404]

Buongiorno, nel tentativo di acquisire familiarità con limiti e studi di funzione, mi sono ritrovato in difficoltà con quest'esercizio, che pure dispone di soluzione:

Usando la definizione di limite, calcolare $\lim_{n \to \infty}|x|^n$ al variare di x ∈ R

Nello svolgimento del docente, si legge:
- Per |x| < 1, congetturiamo che f(x) = 0.
- Per |x| > 1, congetturiamo che f(x) = +∞

Per quale motivo la funzione dovrebbe andare a 0 per valori negativi di x? Fissato un valore di x non dovrei avere un andamento della funzione a -inf per valori dispari di n e +inf per valori pari?

Grazie per eventuali risposte, e pazienza annessa

[Mephlip]

Ciao Sam404, benvenut* sul forum!

Il valore assoluto è sempre non negativo e perciò sono non negative tutte le sue potenze. Inoltre il limite, quando esiste, preserva le disuguaglianze (al più trasformando quelle strette in non strette); quindi, non c'è speranza che quel limite sia strettamente negativo qualsiasi sia \(x\in\mathbb{R}\). Il ragionamento che hai esposto sarebbe stato corretto se sotto il segno di limite ci fosse stata la funzione \(x^n\).

Hai provato a usare la definizione di limite come ti è stato richiesto?

Inoltre, qui:

- Per |x| < 1, congetturiamo che f(x) = 0.
- Per |x| > 1, congetturiamo che f(x) = +∞

È sbagliato, non è \(f(x)\) ma \(\lim_{n \to +\infty} f_n(x)\) con \(f_n (x)=|x|^n\).

[Sam404]

Grazie della risposta,
era un esercizio banale e mi ci sono incartato: il primo punto intende il range da 0 a 1, per questo tende a 0.

[Lebesgue]

Grazie della risposta,
era un esercizio banale e mi ci sono incartato: il primo punto intende il range da 0 a 1, per questo tende a 0.

Quindi, secondo te, quanto fa $\lim_{n \to +\infty} (- 1/5)^n$?

[Sam404]

Non esiste, perchè una funzione esponenziale è definita solo per valori positivi della base

[gugo82]

Non esiste, perchè una funzione esponenziale è definita solo per valori positivi della base

Non mi pare che le potenze ad esponente intero positivo abbiano questo problema, no?

[Lebesgue]

Non esiste, perchè una funzione esponenziale è definita solo per valori positivi della base

immaginavo avresti dato una risposta del genere.
Quindi per te $(-2)^2$ non fa $4$, nonostante $(-2)^2 = (-2)*(-2) = 4$.
Ti consiglio di andare a rivedere bene le potenze e le regole delle potenze, anche da un libro delle superiori.

Inoltre, non confonderti tra potenze ed esponenziali.
Nelle potenze, l'esponente è fissato e la base varia: $x^2, (a+b)^4, (-y)^(-1)$ sono potenze.
Negli esponenziali, la base è fissata e l'esponente varia: $e^x, 2^(3x), e^(x+y)$ sono esponenziali.