Equazione differenziale domanda

[gugo82]

Insomma, forse quella parte nel quote che mi ha portato fuori strada la riscriverei dicendo "y varia nel dominio $ (−∞,0) $ unito $ (0,+∞) $ a seconda di k" sei d'accordo così?

No, non mi piace comunque... Delle soluzioni di quella EDO sai dire tante cose sfruttando solo la EDO (vedi sotto); ed una di queste cose è che le soluzioni non cambiano segno nei propri intervalli di definizione.

Però a questo punto ti dirò la verità, non capisco perché compia questo ragionamento:

fatto ciò per sostituzione della condizione mi trovo $ k $ da cui $ y(t)=(2-t^3)/3 $ ma non è ancora la soluzione definitiva perché vale la condizione $ y(t)>0 $ cioè: $ (2-t^3)/3>0 $ da cui trovo le t di y(t) per cui è soluzione: $ t<2^(1/3) $.

se come ho finalmente capito il dominio non è $ (0,+∞) $ trovo insensato imporre quella condizione di $ >0 $. Prima aveva senso nel mio errore interpretativo, ora no!

Vedi sotto.

E, nel suo dominio naturale, non può essere una soluzione lecita di una EDO: perché?

questo non mi viene in mente . Ci ho pensato e credo abbia a che fare con l'idea precedente dove impone $ (2-t^3)/3>0 $ e trova le t per cui vale. Ma non riesco bene a capire il motivo dato che come dicevo nel quote appena sopra non mi è chiaro il ragionamento.


PS:

Domanda collegata: che cos’è una primitiva?

risponderei così: data $ f:(a,b)->RR $ dicesi primitiva la funzione la funzione $ g:(a,b) $ in $ RR $ derivabile tale che $ g'(x)=f(x), forall x in (a,b) $ è la formulazione più furba che mi viene in mente di dare.

Queste due questioni sono collegate.
La definizione è giusta, ed è l'unica che abbia senso se vuoi che valga il teorema di unicità delle primitive a meno di costanti additive (cioè quello che ti assicura che se $F, G$ sono entrambe primitive di una stessa $f$, allora $G=F + "costante"$). Per dimostrare questo teorema, si usa -fondamentalmente- il teorema di Lagrange e quest'ultimo vale solo sugli intervalli; per questo motivo le primitive sono definite solo sugli intervalli.

Stesso discorso -forse con qualche sottigliezza in più- per le soluzioni massimali¹ delle EDO: una soluzione massimale di una EDO è definita su un intervallo, proprio come una primitiva.
Quindi, ad esempio, non ha senso dire che la funzione $y(t) = -3/(t^3)$ è la soluzione della EDO in $RR\setminus \{0\} $, perché $RR\setminus \{ 0\}$ non è un intervallo.

Veniamo ad una soluzione ragionata del problema.
Guarda: non è che non ti è chiaro il ragionamento; piuttosto, chi ha scritto quella roba lì ha fatto di tutto per impedirti di vederlo.
Vediamo un po' se riesco a chiarirlo.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Hai la EDO:
\[
y^\prime (t) = t^2 y^2(t)\; .
\]
Il secondo membro della EDO viene dalla funzione $f(t,y):=t^2y^2$ definita e di classe $C^oo$ in $RR^2$.
Per noti teoremi, la EDO ha soluzione unica locale intorno ad ogni punto iniziale $(t_0,y_0) in RR^2$, la quale si prolunga in un'unica soluzione massimale.
L'unica soluzione costante della EDO è $y^*** (t) = 0$.
Visto che per la EDO vale il teorema di unicità locale, il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale $y(t)$ della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione $I$.
Dato che $f(t,y)>= 0$ ovunque in $RR^2$ e $f(t,y)=0 <=> t = 0 vv y = 0$, ogni soluzione massimale non costante è strattamente crescente nel proprio intervallo di definizione $I$.
Inoltre, le soluzioni massimali sono di classe $C^oo$ ognuna nel proprio intervallo di definizione.²
Vedi che queste proprietà si possono tirare fuori direttamente dall'equazione, senza neanche risolverla. Potrei anche andare avanti, cercando di dimostrare proprietà via via più fini (ad esempio, com'è fatto l'insieme di definizione di una soluzione massimale, se questa è concava o convessa, se ha asintoti, etc...) sempre senza conoscere alcunché dell'espressione più o meno esplicita/elementare della soluzione stessa, ma sfruttando solo la EDO; ma in questo caso è più semplice fare i calcoli che non cercare di spaccare un capello in due... Quindi calcoliamoci le soluzioni.

Fissiamo un punto iniziale $(t_0,y_0)$.
Se $y_0=0$, allora l'unica soluzione del p.d.C. con condizione iniziale $y(t_0)=0$ è $y^***(t)=0$.
Se $y_0 != 0$, allora la solzione massimale del p.d.C. conserva ovunque lo stesso segno di $y_0$; calcolando come sopra hai:
\[
\int_{t_0}^t \frac{y^\prime (\tau )}{y^2(\tau )}\ \text{d} \tau = \int_{t_0}^t \tau^2\ \text{d} \tau \quad \Rightarrow\quad \int_{y_0}^{y(t)} \frac{1}{u^2}\ \text{d} u = \frac{1}{3} (t^3 - t_0^3) \quad \Rightarrow\quad \frac{1}{y_0} - \frac{1}{y(t)} = \frac{1}{3} (t^3 - t_0^3)
\]
da cui l'espressione della soluzione massimale:
\[
y(t) = \frac{3y_0}{3 - y_0(t^3 - t_0^3)}\; .
\]
Per determinarne l'intervallo di definizione, distinguiamo i casi:

• se $y_0 > 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) > 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
  \[
  t^3 < t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t < \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
  \]
  quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]-\infty , \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}[\);
  
  
• se $y_0 < 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) < 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
  \[
  t^3 > t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t > \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
  \]
  quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]\sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}} , + \infty[\).[/list]

Se vuoi scrivere le cose in una maniera meno incasinata, ti basta introdurre (come sopra) la fantasmagorica costante arbitraria: visto che:
\[
y(t) = \frac{3}{\frac{3}{y_0} + t_0^3 - t^3 }\; ,
\]
chiamata $c = \frac{3}{y_0} + t_0^3$, hai un'espressione esplicita della soluzione massimale del tipo:
\[
\tag{*} y(t) = \frac{3}{c - t^3}
\]
ed il dominio della soluzione massimale è uno solo dei due intervalli \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) che costituiscono il dominio naturale della (*).

---

Note

1. In maniera spiccia, le soluzioni massimali di una EDO sono soluzioni non ulteriormente prolungabili. Si dimostra che ogni soluzione locale si può prolungare fino a raggiungere almeno una (in generale non unica) soluzione massimale. ↑
2. Questo è un fatto semplice che si dimostra per induzione. Ad esempio, visto che una soluzione massimale $y$ è derivabile (per nozione di soluzione di una EDO) e che la sua derivata è data da $y'(t) = t^2 y^2(t)$, anche la derivata $y'$ risulta continua e derivabile in $I$; perciò $y$ è di classe $C^1$ ed ha derivata seconda $y''$. Per dimostrare maggiore regolarità, basta iterare questo ragionamento: puoi derivare la EDO membro a membro ed ottenere:
   \[
   \begin{split}
   y^{\prime \prime} (t) = 2t\ y^2(t) + 2t^2\ y(t)\ y^\prime (t)\quad &\stackrel{y^\prime = t^2 y^2}{\Longrightarrow}\quad y^{\prime \prime} (t) = 2t\ y^2(t) + 2t^4\ y^3(t) \\
   &\Longrightarrow\quad y^{\prime \prime} (t) = 2t\ y^2(t)\ \Big( 1 + t^3 y(t)\Big)
   \end{split}
   \]
   sicché la derivata seconda $y''$ è continua e derivabile in $I$; perciò la $y$ è di classe $C^2$ e dotata di derivata terza. Per avere maggiore regolarità, basta ripetere il ragionamento: derivi la EDO ancora una volta, usi la EDO nei calcoli, ottieni un'espressione di $y'''$ che contiene solo $t$ ed $y$, etc... ↑

[ripositore]

WOW leggendo tutto d'un fiato questa spiegazione mi pare finalmente di aver trovato il giusto posto per le idee. Mi piacerebbe schematizzare una risposta e sbobinare l'esercizio svolto che avevo trovato per capire le pecche, perché solo capendo gli errori so che ragionerò giusto in futuro e soprattutto capisco di aver capito.

Sia il problema di cauchy
$y'=y^2t^2$
$y(1)=3$

SOL guidata:
1)
- posto $b(y)=0$ trovo $y=0$ soluzione stazionaria
- se $y!=0$ posso integrare dopo aver separato $int 1/y^2 dy=intf^2 dt$ => $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR$
(ed è qui che non riuscivo a vedere il problema di cauchy, mi pareva cioè che questa soluzione fosse una funzione che ha dominio ciò che rende vero: $(t^3+3k)!=0$ senza aver chiesto nulla a cauchy, perché il dominio e i valori di y li ho già belle che pronti e gratis dalla risoluzione e non ho imposto alcuna condizione iniziale apparentemente)

2)
da qui poi vedevo partire la soluzione del problema di C.:
- $y=0$ non soddisfa la condizione iniziale e la levo dalle scatole
- ragiono su $(-oo,0)$ unito $ (0,+oo)$, siccome il pdc ha soluzioni su un intervallo devo scegliere uno dei due ed evidentemente è il secondo dato che $y(1)=3 in(0,+oo)$ (è la condizione iniziale che determina l'intervallo su cui lavorare)

fatto ciò per sostituzione della condizione mi trovo $k$ da cui $y(t)=(2-t^3)/3$ ma non è ancora la soluzione definitiva perché vale la condizione $y(t)>0$ cioè: $(2-t^3)/3>0$ da cui trovo le t di y(t) per cui è soluzione: $t<2^(1/3)$.
(oss: è anche la massimale non esistendo prolungamenti possibili, infatti ho preso tutto l'intervallo)

Mi piacerebbe tirare le seguenti "linee rosse" sull'esercizio che ho trovato risolto online/guidato:

* risolvere come nell'esercizio qui sopra con gli integrali indefiniti non mette in risalto in primis il thm fondamentale "di cauchy" che abbiamo finora citato: non avendo punti iniziali non posso fare i ragionamenti che hai fatto.

* inoltre da questo metodo con integrale indefinito, discende che il risolutore diceva che la soluzione è: $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR$, ma questo è improprio perché così non sto dicendo il valore dei due intervalli \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) per cui di fatto è soluzione. Senza specificarli non è un bel nulla quella funzione!

* Proseguendo nella seconda parte dove dice che "dato che $y!=0$ la variabile $y$ varia nel dominio $(-oo,0)∪(0,+oo)$" (**) è in parte "vero", anche se scritto in modo improprio¹, difatti quella affermazione è vera solo per via del teorema di unicità locale che ci assicura che "il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale y(t) della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione I"

* infine ove dice che l'intervallo massimale si trova, dato l'insieme di definizione ${(t,y)in RR^2: t in RR, y in (0,oo)}$, ponendo $y(t)>0 =>3/(2-t^3)>0 => t<2^(1/3)$ in un certo senso imbroglia, perché sembra far discendere l'intervallo da questa condizione vista in (**) sulla soluzione dell'integrale indefinito che citavo sopra. Ma in realtà non è così, $y(t)>0$ deriva dal teorema di unicità locale che citavo nel terzo punto di questo elenco e quindi dal calcolo che svolgevi tu:

se $y_0 > 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) > 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
\[
t^3 < t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t < \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
\]
quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]-\infty , \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}[\);

Spero ora di trovarti d'accordo su quello che dico.

PS: inoltre, tra le altre cose, ho finalmente capito il perché si richiedono intervalli!

PPS: scusa per la rottura di scatole che sono stato e le scemenze che ho detto in queste pagine. Spero non ti sarai strappato i capelli. Grazie mille, mi hai insegnato moltissimo!!

---

Note

1. perché se vogliamo parlare di dominio sarebbe \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) altrimenti devo invocare il thm di unicità (si veda il prosieguo del discorso) ↑

[gugo82]

Scusa, ma quale video hai visto? Hai un link?

Per il resto, cerco di risponderti appena ho tempo.

[ripositore]

Nono non era un video.
Sostanzialmente è andata così: il prof ha accennato solo alle equazioni differenziali come dicevo proponendo le tecniche risolutive e lasciando la domanda aperta di inizio di questa conversazione; non soddisfatto perché in cuor mio sentivo che qualcosa non mi era chiaro, ho aperto qui la discussione e nel frattempo mi sono scaricato vari pdf di analisi 1 di vari atenei e me li sono letti (compreso il teorema che abbiamo usato) man mano che discutevamo qui e cercando di capire il più possibile valorizzando il tuo aiuto. Cercando varie fonti, non solo teoriche ma che mi permettessero anche una visione pratica di risoluzione di un esercizio, sono capitato su questo link (da cui ho preso l'esempio): youmath, perché non avendo a disposizione fonti avevo bisogno di un "esercitatore virtuale". Però data la spiegazione non approfonditissima e l'idea sbagliata che mi ero fatto sulle EDO ho dovuto reinterpretare tutta l'impalcatura che avevo capito e con le tue spiegazioni penso di esserci riuscito!

Ciò detto, grazie alle tue spiegazioni ho capito varie cose che prima non mi erano per nulla chiare con il mio studio autonomo, e capiti quei punti mi sono "permesso" di evidenziare i 4 punti che non mi convincono nella spiegazione di quel link da cui ho preso l'esercizio. Quindi, se anche il link fosse poco interessante, non lo so... però mi ha dato lo spunto per ragionare e vorrei capire gli errori.

ora, rileggendoli (quei 4 punti del mio ultimo messaggio sopra il tuo) mi sembrano ora corretti, e ci tenevo ad avere un tuo parere (a tempo perso s'intende, quando hai voglia, anche tra un mese sarò qui a leggere ), perché se confermi la correttezza almeno so di aver finalmente capito bene la faccenda che al netto di tutto è quello che mi sta a cuore.

[gugo82]

Ma ancora a vedere 'sta roba su youmath?!?
Ma siete di coccio...

Quelle robe lì possono andar bene per le scuole superiori (e nemmeno di tutti gli indirizzi), non sono adatte allo studio universitario.

[ripositore]

Ma siete di coccio...

Sinceramente è la prima volta che lo vedevo come sito , è semplicemente uscito nella ricerca di risoluzione guidata per una edo e me lo sono letto, ora so che non devo più farlo¹.

Però resta il punto che, proprio perché non "preciso",mi ha aiutato a pormi dei dubbi. Nel senso, nel male mi è servito a guardare criticamente la faccenda e dire "no non ci siamo", che spero sia quello che conta nel comprendere le cose.

Per il resto, quanto dicevo nei 4 punti sopra li condividi? (cioè questi)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Mi piacerebbe tirare le seguenti "linee rosse" sull'esercizio che ho trovato risolto online/guidato:

* risolvere come nell'esercizio qui sopra con gli integrali indefiniti non mette in risalto in primis il thm fondamentale "di cauchy" che abbiamo finora citato: non avendo punti iniziali non posso fare i ragionamenti che hai fatto.

* inoltre da questo metodo con integrale indefinito, discende che il risolutore diceva che la soluzione è: $y(t)=-3/(t^3+3k), k in RR$, ma questo è improprio perché così non sto dicendo il valore dei due intervalli \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) per cui di fatto è soluzione. Senza specificarli non è un bel nulla quella funzione!

* Proseguendo nella seconda parte dove dice che "dato che $y!=0$ la variabile $y$ varia nel dominio $(-oo,0)∪(0,+oo)$" (**) è in parte "vero", anche se scritto in modo improprio², difatti quella affermazione è vera solo per via del teorema di unicità locale che ci assicura che "il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale y(t) della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione I"

* infine ove dice che l'intervallo massimale si trova, dato l'insieme di definizione ${(t,y)in RR^2: t in RR, y in (0,oo)}$, ponendo $y(t)>0 =>3/(2-t^3)>0 => t<2^(1/3)$ in un certo senso imbroglia, perché sembra far discendere l'intervallo da questa condizione vista in (**) sulla soluzione dell'integrale indefinito che citavo sopra. Ma in realtà non è così, $y(t)>0$ deriva dal teorema di unicità locale che citavo nel terzo punto di questo elenco e quindi dal calcolo che svolgevi tu:

se $y_0 > 0$: in tal caso deve aversi sempre $y(t) > 0$, e ciò accade se e solo se $3 - y_0(t^3 - t_0^3) > 0$, ossia se:
\[
t^3 < t_0^3 + \frac{3}{y_0} \quad \Leftrightarrow\quad t < \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}\; ;
\]
quindi la soluzione massimale del p.d.C. è definita in \(]-\infty , \sqrt[3]{t_0^3 + \frac{3}{y_0}}[\);

Spero ora di trovarti d'accordo su quello che dico.

Mi interessava molto, sono serio perché vorrebbe dire che se ci ho preso, ho capito.

---

Note

1. altra cosa, tra le tante, che ho imparato grazie ai tuoi preziosi consigli sullo studio ↑
2. perché se vogliamo parlare di dominio sarebbe \(]-\infty, \sqrt[3]{c}[\) o \(]\sqrt[3]{c} , + \infty[\) altrimenti devo invocare il thm di unicità (si veda il prosieguo del discorso) ↑

[gugo82]

Sì, il senso delle cose è quello.
Bravo.

[ripositore]

Ti ringrazio molto per le tue delucidazioni, sono state fondamentali per riuscire a mettere assieme un po' tutto!
Non so davvero come poterti ringraziare per il tuo aiuto enorme, mi hai regalato la comprensione di un concetto e te ne sono immensamente grato!

[krakken]

Gentilissimi voi, scusate l'intromissione ma discussioni come questa sono davvero interessanti e anche a me hanno chiarito dubbi che avevo riguardo la teoria che sto proprio or-ora affrontando.

Avrei un dubbio che classificherei in stupido, ma non ho capito bene come vanno le cose e vorrei chiedere @gugo82, ho letto da cima a fondo queste pagine e dato che dicevi:
Visto che per la EDO vale il teorema di unicità locale, il grafico di ogni altra soluzione massimale non può attraversare la soluzione costante, quindi ogni soluzione massimale $y(t)$ della EDO o è negativa ovunque o è positiva ovunque nel suo intervallo di definizione $I$.

C'è una cosa che non capisco, ossia: io so che ho come soluzione anche la funzione costante $y=0$, tuttavia come dicevi ho il teorema di unicità di soluzione locale, e sapendo da questo che vale sicuramente localmente ho qualcosa del tipo $y:[t_0-epsilon,t_0+epsilon]->{0}$. Ecco, ma io in questo modo non sto asserendo che ho due soluzioni?
Voglio dire, una soluzione $y=0$ si avrà localmente attorno a un certo $t_0$ e non solo in $t_0$ (e ho una soluzione unica nell'intervallo), quindi quando io impongo $y(t)>0 $ trovo i valori per cui vale la seconda soluzione massimale con $y in (0,+oo)$, che non copre t0 in cui y=0, ma copre una parte di quell'intorno (che per il teorema in "locale" esiste) di t0 per cui $y=0$.

E' evidente che sbaglio, però sai che non capisco dove

[gugo82]

Per fugare questi dubbi è fondamentale capire il ruolo giocato dal p.d.C. nella teoria e nella pratica delle EDO, cosa che negli svolgimenti "meccanici" non viene mai messo in risalto.

Nel tuo caso, la cosa è semplice: la soluzione costante $y(t) = 0$ soddisfa il p.d.C. per quella EDO con punto iniziale $(t_0,0)$ (ossia condizione iniziale $y(t_0)=0$), mentre ogni altra soluzione non costante soddisfa un p.d.C. per la stessa EDO, ma con punto iniziale $(t_0,y_0)$ (cioè condizione iniziale $y(t_0)=y_0$) con $y_0!= 0$.
Per questo il teorema di esistenza ed unicità non può essere violato: lo stai applicando a pp.dd.CC. differenti ottenendo due soluzioni locali $y(t;t_0,0)$ (costante) e $y(t;t_0,y_0)$ (non costante) differenti.

Invece, se per assurdo in un intorno di $t_0$ in cui sono definite entrambe le soluzioni locali $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ esistesse un punto d'intersezione per i due grafici, ossia se esistessero punti $tau$ tali che $y(tau; t_0,0) = y(tau;t_0,y_0)$, detto $t_1$ il punto più vicino a $t_0$ dove si verifica l'intersezione, entrambe le funzioni $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ soddisferebbero il p.d.C. relativo alla stessa EDO con lo stesso punto iniziale $(t_1, y_1)$ (ovvero condizione iniziale $y(t_1)=y_1$) con:

$y_1="ordinata del punto d'intersezione di " y(*;t_0,0) " e " y(*;t_0,y_0)$.

In tal caso, intorno a $t_1$, dovresti avere soluzione unica e ciò darebbe $y(t;t_0,0) = y(t;t_0,y_0)$ anche per valori di $t$ più vicini a $t_0$ rispetto a $t_1$.
Ma ciò è assurdo, perché $t_1$ è per definizione il punto di contatto tra i grafici di $y(*;t_0,0)$ e $y(*;t_0,y_0)$ più vicino possibile a $t_0$.
Dunque se sono soddisfatte le ipotesi del teorema di esistenza ad unicità non è possibile che grafici di soluzioni della stessa EDO relative a pp.dd.CC. con diverse condizioni iniziali si intersechino.