ripositore ha scritto:Insomma credo mi sfugga perché la composizione di una funzione con una funzione "prodotto di funzioni"
Ti faccio un esempio, siano $f,g :\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}$ tali che $ f(x) = \frac{3}{x^2} $ e $g(x) = x^3$,
allora qui banalmente $h(x) := f(x)\cdot g(x) = \frac{3}{x^2}\cdot x^3 = 3x$.
Ma ti faccio notare che $x$ è la funzione identità \(\displaystyle id_\mathbb{R} : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) tale che \(\displaystyle id_\mathbb{R}(x) = x\), nel senso che
\(\displaystyle ( f\circ id_\mathbb{R})\cdot (g\circ id_\mathbb{R})= f(id_\mathbb{R}(x))\cdot g(id_\mathbb{R}(x)) =\)
\(\displaystyle = \frac{3}{(id_\mathbb{R}(x))^2}\cdot (id_\mathbb{R}(x))^3 = 3id_\mathbb{R}(x) = (f\cdot g)(id_\mathbb{R}(x)) = (f\cdot g)\circ id_\mathbb{R}\)
Forse ho complicato un po' la cosa, ma in sostanza voglio dirti che "puoi vedere le funzioni come un'astrazione di $x$" , e se al posto di $x$ ci mettessi $\alpha(t)$ o un'altra funzione (a patto che sia ben definita, sia da R in R, ecc...) potresti trarre la stessa conclusione.
Se $\alpha(t) = \sqrt t$ vale sempre $f(\alpha)\cdot g(\alpha) = (f\cdot g) (\alpha)$, infatti:
$f(\alpha)\cdot g(\alpha) = \frac{3}{\alpha^2}\cdot \alpha^3 = 3\alpha$ nel senso che $f(\alpha)\cdot g(\alpha) = \frac{3}{(\sqrt t)^2}\cdot (\sqrt t)^3 = 3\sqrt t$
Spero ti sia più chiaro e non ti abbia fatto confusione.
La parte teorica che magari ti permette di avere una visione più astratta di queste cose penso tu la possa trovare in un corso di Algebra I o II di una facoltà di matematica, dalla teoria dei gruppi in poi
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