Derivata non compresa

Ciao, ho un dubbio su un esercizio in cui vi è un passaggio nella soluzione che proprio non capisco.

$d/(dt)((fg)∘alpha(t))=d/(dt)(fg(alpha(t))$ dove ho moltiplicazione di f e g e composizione con alpha funzioni

la soluzione riportata è: $d/(dt)(f∘alpha)*g+fd/(dt)(g∘alpha)$

ma a me sembra che dovrei avere (sfruttando la derivazione composta: $(d(g(f(x))))/(dx)=(dg(f))/(df)*(df(x))/(dx)$) -sbaglio la formula? non mi pare, correggetemi nel caso -


Quindi:

$d/(dalpha)(fg)(alpha)*(dalpha)/(dt)=((df)/(dalpha)*g+f*(dg)/(dalpha))(dalpha)/(dt)$

Ciao, quella riportata dal libro a me sembra la regola di Leibnitz
$ d/(dx)(f\cdot g)=f\cdotd/(dx)g(x) + g\cdotd/(dx)f(x) $

la soluzione riportata è: $d/dt(f∘α)\cdot g+f\cdot d/dt(g∘α)$

Il tuo ragionamento è corretto, ed anche la soluzione dell'esercizio lo è, se vai a svolgere i conti ottieni ciò che hai trovato tu

$d/dt(f∘α)\cdot g = d/{d\alpha} f(\alpha(t))\cdot d/dt \alpha(t) \cdotg $
mentre $f\cdot d/dt(g∘α) = f \cdot d/{d\alpha} g(\alpha(t))\cdot d/dt \alpha(t) $

dunque raccogliento $d/dt \alpha(t)$ si ha $d/dt(f∘α)\cdot g+f\cdot d/dt(g∘α) = [d/{d\alpha} f(\alpha(t))\cdotg + f \cdot d/{d\alpha} g(\alpha(t)) ]\cdot d/dt \alpha(t) $, il tuo risultato

Il libro si è fermato prima e non ha svolto i passaggi successivi.

Cavolo hai ragione non me ne ero proprio accorto!

Ma, solo una domanda per comprendere del tutto. Sai che non capisco come arrivi in un passaggio questa cosa: $d/(dt)(f∘alpha)*g+fd/(dt)(g∘alpha)$?

Nel senso che io nel mio primo passaggio arrivo ad altro, e non capisco come arrivare in modo immediato a quella scrittura (cioè con un passaggio) usando Leibnitz. Non riesco, cioè , a vedere il ragionamento dell'autore e mi incuriosisce perché potrebbe essere utile!

grazie se avrai ancora voglia di aiutarmi!

Se ho capito bene la tua domanda allora $d/dt[(f\cdot g)\circ\alpha(t)]=d/dt[(f\cdot g)(\alpha(t))] $ arrivato a questo punto potresti riscriverla così $d/dt [\ f(\alpha(t))\cdot g(\alpha(t))\ ]$, da cui forse è più immediato vedere che si può applicare Leibnitz.

Sì, esatto chiedevo proprio quello. Ma sai che credo non ci fossi arrivato perché mi sfugge come il prodotto di due funzioni (che è una funzione h: h:=f*g) se la compongo con α non capisco perché h(α) sia uguale a f(α)*g(α).

Insomma credo mi sfugga perché la composizione di una funzione con una funzione "prodotto di funzioni" sia il prodotto delle rispettive composizioni.

Insomma credo mi sfugga perché la composizione di una funzione con una funzione "prodotto di funzioni"

Ti faccio un esempio, siano $f,g :\mathbb{R}-{0}\to\mathbb{R}$ tali che $ f(x) = \frac{3}{x^2} $ e $g(x) = x^3$,
allora qui banalmente $h(x) := f(x)\cdot g(x) = \frac{3}{x^2}\cdot x^3 = 3x$.
Ma ti faccio notare che $x$ è la funzione identità \(\displaystyle id_\mathbb{R} : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) tale che \(\displaystyle id_\mathbb{R}(x) = x\), nel senso che

\(\displaystyle ( f\circ id_\mathbb{R})\cdot (g\circ id_\mathbb{R})= f(id_\mathbb{R}(x))\cdot g(id_\mathbb{R}(x)) =\)

\(\displaystyle = \frac{3}{(id_\mathbb{R}(x))^2}\cdot (id_\mathbb{R}(x))^3 = 3id_\mathbb{R}(x) = (f\cdot g)(id_\mathbb{R}(x)) = (f\cdot g)\circ id_\mathbb{R}\)

Forse ho complicato un po' la cosa, ma in sostanza voglio dirti che "puoi vedere le funzioni come un'astrazione di $x$" , e se al posto di $x$ ci mettessi $\alpha(t)$ o un'altra funzione (a patto che sia ben definita, sia da R in R, ecc...) potresti trarre la stessa conclusione.

Se $\alpha(t) = \sqrt t$ vale sempre $f(\alpha)\cdot g(\alpha) = (f\cdot g) (\alpha)$, infatti:

$f(\alpha)\cdot g(\alpha) = \frac{3}{\alpha^2}\cdot \alpha^3 = 3\alpha$ nel senso che $f(\alpha)\cdot g(\alpha) = \frac{3}{(\sqrt t)^2}\cdot (\sqrt t)^3 = 3\sqrt t$

Spero ti sia più chiaro e non ti abbia fatto confusione.

La parte teorica che magari ti permette di avere una visione più astratta di queste cose penso tu la possa trovare in un corso di Algebra I o II di una facoltà di matematica, dalla teoria dei gruppi in poi

Grazie mille per il tempo che mi hai dedicato. Mi sembra chiaro e intuitovo così.

Devo dire che non ci avevo mai fatto veramente caso prima. grazie!